Давайте разберём задачу по шагам, чтобы понять, какое трёхзначное число было задумано.
Дано:
- Число трёхзначное, меньше 500
- Делится на 15
- После перестановки цифр десятков и единиц полученное число вычли из первоначального и получили 54
Обозначим задуманное число как ABC, где:
- A — цифра сотен,
- B — цифра десятков,
- C — цифра единиц.
Тогда:
[ \text{Исходное число} = 100A + 10B + C ]
После перестановки цифр B и C получаем число:
[ 100A + 10C + B ]
По условию:
[ (100A + 10B + C) - (100A + 10C + B) = 54 ]
Рассчитаем разность:
[ (100A + 10B + C) - (100A + 10C + B) = (100A - 100A) + (10B - 10C) + (C - B) = 0 + 10B - 10C + C - B ]
Объединим подобные слагаемые:
[ (10B - B) + (C - 10C) = 9B - 9C = 9(B - C) ]
По условию:
[ 9(B - C) = 54 \Rightarrow B - C = 6 ]
Следовательно:
[ B = C + 6 ]
Также из условия, что исходное число делится на 15, то есть:
- число делится на 3: сумма цифр делится на 3
- число делится на 5: последняя цифра — 0 или 5
Обозначим:
- ( A \in {1, 2, 3, 4} ) (так как число меньше 500)
- ( C ) — цифра единиц.
Поскольку число делится на 5, то:
[ C \in {0, 5} ]
Рассмотрим оба варианта.
Вариант 1: ( C = 0 )
Тогда:
[ B = C + 6 = 0 + 6 = 6 ]
Цифра B = 6, C=0, и A — от 1 до 4.
Проверим условия делимости исходного числа на 15:
- Последняя цифра C=0, значит число делится на 5 (верно).
- Сумма цифр: (A + B + C = A + 6 + 0 = A + 6).
Чтобы число делилось на 3, сумма должна быть кратна 3:
[ A + 6 \equiv 0 \pmod{3} ]
Проверим для возможных A:
- A=1: сумма = 1+6=7 → 7 не делится на 3
- A=2: сумма=8 → не делится
- A=3: сумма=9 → делится (кратна 3)
- A=4: сумма=10 → не делится
Значит, A=3.
Значит, исходное число:
[ 100 \times 3 + 10 \times 6 + 0 = 300 + 60 + 0 = 360 ]
Перепроверим:
Делится на 15?
360 делится на 15, так как 15×24=360.
После обмена B и C: B=6, C=0, меняем местами (B и C), получим число:
[ 100 \times 3 + 10 \times 0 + 6 = 300 + 0 + 6= 306 ]
Разность:
[ 360 - 306 = 54 ]
что соответствует условию.
Вариант 2: ( C=5 )
Тогда:
[ B = 5 + 6 = 11 ]
Но B — это цифра, не может быть больше 9, следовательно, этот вариант невозможен.
Итог:
Задуманное число — это 360.
Проверка:
- Оно меньше 500 — верно.
- Делится на 15 — верно.
- После перестановки цифр B и C (6 и 0): получаем 306.
- Исходное - новое число: 360 - 306 = 54 — верно.
Ответ: Задуманное число — 360.
