Задумали трёхзначное число, которое меньше 500 и делится на 15. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число…

Давайте разберём задачу по шагам, чтобы понять, какое трёхзначное число было задумано.

Дано:

• Число трёхзначное, меньше 500
• Делится на 15
• После перестановки цифр десятков и единиц полученное число вычли из первоначального и получили 54

Обозначим задуманное число как ABC, где:

• A — цифра сотен,
• B — цифра десятков,
• C — цифра единиц.

Тогда: \[ \text{Исходное число} = 100A + 10B + C \]

После перестановки цифр B и C получаем число: \[ 100A + 10C + B \]

По условию: \[ (100A + 10B + C) - (100A + 10C + B) = 54 \]

Рассчитаем разность: \[ (100A + 10B + C) - (100A + 10C + B) = (100A - 100A) + (10B - 10C) + (C - B) = 0 + 10B - 10C + C - B \]

Объединим подобные слагаемые: \[ (10B - B) + (C - 10C) = 9B - 9C = 9(B - C) \]

По условию: \[ 9(B - C) = 54 \Rightarrow B - C = 6 \]

Следовательно: \[ B = C + 6 \]

Также из условия, что исходное число делится на 15, то есть:

• число делится на 3: сумма цифр делится на 3
• число делится на 5: последняя цифра — 0 или 5

Обозначим:

• \( A \in \{1, 2, 3, 4\} \) (так как число меньше 500)
• \( C \) — цифра единиц.

Поскольку число делится на 5, то: \[ C \in \{0, 5\} \]

Рассмотрим оба варианта.

---

Вариант 1: \( C = 0 \)

Тогда: \[ B = C + 6 = 0 + 6 = 6 \] Цифра B = 6, C=0, и A — от 1 до 4.

Проверим условия делимости исходного числа на 15:

• Последняя цифра C=0, значит число делится на 5 (верно).
• Сумма цифр: \(A + B + C = A + 6 + 0 = A + 6\).

Чтобы число делилось на 3, сумма должна быть кратна 3: \[ A + 6 \equiv 0 \pmod{3} \]

Проверим для возможных A:

• A=1: сумма = 1+6=7 → 7 не делится на 3
• A=2: сумма=8 → не делится
• A=3: сумма=9 → делится (кратна 3)
• A=4: сумма=10 → не делится

Значит, A=3.

Значит, исходное число: \[ 100 \times 3 + 10 \times 6 + 0 = 300 + 60 + 0 = 360 \]

Перепроверим:

• Делится на 15?
  360 делится на 15, так как 15×24=360.

• После обмена B и C: B=6, C=0, меняем местами (B и C), получим число: \[ 100 \times 3 + 10 \times 0 + 6 = 300 + 0 + 6= 306 \]

• Разность: \[ 360 - 306 = 54 \]
  что соответствует условию.

---

Вариант 2: \( C=5 \)

Тогда: \[ B = 5 + 6 = 11 \] Но B — это цифра, не может быть больше 9, следовательно, этот вариант невозможен.

---

Итог:

Задуманное число — это 360.

Проверка:

• Оно меньше 500 — верно.
• Делится на 15 — верно.
• После перестановки цифр B и C (6 и 0): получаем 306.
• Исходное - новое число: 360 - 306 = 54 — верно.

---

Ответ: Задуманное число — 360.