Найдите длину хорды окружности радиусом 17, если расстояние от центра окружности до хорды равно 8
Давайте решим задачу поэтапно.
Дано:
- Радиус окружности \( R = 17 \)
- Расстояние от центра окружности до хорды \( d = 8 \)
Найти: длину хорды \( l \).
Шаг 1: Визуализация и понятия
Рассмотрим окружность с центром \( O \) и радиусом \( R \). Пусть \( AB \) — хорда, а точка \( M \) — проекция центра \( O \) на хорду \( AB \).
- \( OM \) — перпендикуляр, опущенный из центра \( O \) на хорду.
- \( OM \) = \( d \) — расстояние от центра до хорды.
Так как \( OM \perp AB \), то \( M \) — точка на хорде \( AB \), и \( OM \) делит хорду пополам.
Шаг 2: Связь между радиусом, расстоянием и половиной длины хорды
Поскольку \( OM \) — перпендикуляр к хорде, и он делит её пополам, то половина хорды равна \( \frac{l}{2} \).
Рассмотрим треугольник \( OMA \):
- \( OA = R = 17 \)
- \( OM = d = 8 \)
- \( AM = \frac{l}{2} \)
Из этого треугольника по Пифагору:
\[ OA^2 = OM^2 + AM^2 \]
Подставим известные значения:
\[ 17^2 = 8^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 \] \[ 289 = 64 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 \]
Выразим \( \left(\frac{l}{2}\right)^2 \):
\[ \left(\frac{l}{2}\right)^2 = 289 - 64 = 225 \]
Теперь найдём \( \frac{l}{2} \):
\[ \frac{l}{2} = \sqrt{225} = 15 \]
Шаг 3: Найти длину хорды
Длина хорды равна:
\[ l = 2 \times \frac{l}{2} = 2 \times 15 = 30 \]
Ответ:
Длина хорды окружности равна 30.
