Давайте решим задачу поэтапно.
Дано:
- Радиус окружности ( R = 17 )
- Расстояние от центра окружности до хорды ( d = 8 )
Найти: длину хорды ( l ).
Шаг 1: Визуализация и понятия
Рассмотрим окружность с центром ( O ) и радиусом ( R ). Пусть ( AB ) — хорда, а точка ( M ) — проекция центра ( O ) на хорду ( AB ).
- ( OM ) — перпендикуляр, опущенный из центра ( O ) на хорду.
- ( OM ) = ( d ) — расстояние от центра до хорды.
Так как ( OM \perp AB ), то ( M ) — точка на хорде ( AB ), и ( OM ) делит хорду пополам.
Шаг 2: Связь между радиусом, расстоянием и половиной длины хорды
Поскольку ( OM ) — перпендикуляр к хорде, и он делит её пополам, то половина хорды равна ( \frac{l}{2} ).
Рассмотрим треугольник ( OMA ):
- ( OA = R = 17 )
- ( OM = d = 8 )
- ( AM = \frac{l}{2} )
Из этого треугольника по Пифагору:
[
OA^2 = OM^2 + AM^2
]
Подставим известные значения:
[
17^2 = 8^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2
]
[
289 = 64 + \left(\frac{l}{2}\right)^2
]
Выразим ( \left(\frac{l}{2}\right)^2 ):
[
\left(\frac{l}{2}\right)^2 = 289 - 64 = 225
]
Теперь найдём ( \frac{l}{2} ):
[
\frac{l}{2} = \sqrt{225} = 15
]
Шаг 3: Найти длину хорды
Длина хорды равна:
[
l = 2 \times \frac{l}{2} = 2 \times 15 = 30
]
Ответ:
Длина хорды окружности равна 30.
