Прямая касается окружности в точке KK. Точка OO — центр окружности. Хорда KMKM образует с касательной угол, равный 30°30°. Найди ∠OMK∠OMK. Ответ дай в градусах.

Давайте подробно разберём задачу по шагам. **Дано:** - \(O\) — центр окружности. - \(K\) — точка касания окружности (прямая касается окружности в точке \(K\)). - \(M\) — точка, лежащая на окружности, образующая хорду \(KM\). - \(\angle\) между касательной в точке \(K\) и хордой \(KM\) равен \(30^\circ 30'\) (или 30.5°, если представить в десятичной системе). Обычно в подобных задачах записывают сначала градусы, затем минуты. Поэтому, более правильно: \(30^\circ 30'\). И нужно найти \(\angle OMK\). --- ### Шаг 1: Обозначение и озвучивание условий - Точка касания \(K\): касательная к окружности в точке \(K\). - \(O\) — центр окружности. - Точка \(M\) на окружности с точкой \(K\), образует хорду \(KM\). - \(\angle\) между касательной в \(K\) и хордой \(KM\) равен \(30^\circ 30'\). --- ### Шаг 2: Свойства касательной и хорд - Величина этого угла (\(30^\circ 30'\)) — это угол между касательной и хордой, проведённой из той же точки \(K\). - Важное свойство: **Угол между касательной и хордой в точке касания равен половине измерения дуги, на которую эта хорда опирается**, то есть: \[ \angle (\text{касательная}, \text{хорда}) = \frac{1}{2}\text{ дуги, соответствующей этой хорде} \] Обозначим дугу \(KM\) — дугу, на которую опирается хорда \(KM\). Тогда: \[ 30^\circ 30' = \frac{1}{2} \text{ дуга } KM \] что означает: \[ \text{дуга } KM = 2 \times 30^\circ 30' = 61^\circ \] --- ### Шаг 3: Расположение точек и дуг - Поскольку \(K\) — точка касания, касательная в точке \(K\) перпендикулярна радиусу \(OK\). - \(OK \perp\) касательной в \(K\). - Итак, радиус \(OK\) перпендикулярен касательной. --- ### Шаг 4: Анализ дуги \(KM\)/угла \(\angle OMK\) Нам нужно найти \(\angle OMK\). - Обозначим: - \(\angle OMK\) — это угол при \(M\), образованный точками \(O\) и \(K\). Рассмотрим еще: - \(O\) — центр окружности. - \(K\), \(M\) — точки на окружности. - Таким образом, \(\angle OMK\) — угол при \(M\), образованный радиусом \(OM\) и хордами. --- ### Шаг 5: Используем свойства радиусов и дуг - Радиус \(OM\) соединяет центр и точку на окружности. - Углы, образованные радиусами и хордой, связаны с дугами. Поскольку дуга \(KM\) равна \(61^\circ\), и дуга противоположна ей, то весь круг — \(360^\circ\). - дуга \(K\) — дуга, соответствующая касательной — фактически свойство: дуга, на которую опирается хорда \(KM\), равна \(61^\circ\). - Так как дуга \(KM\) равна \(61^\circ\), то существует дуга, противолежащая ей. --- ### Шаг 6: Применение теоремы о углах у центра и по дугам - Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине этой дуги. - Радиусы \(OK\) и \(OM\) — радиусы окружности. --- ### Итоговое решение: По сути, нужно найти \(\angle OMK\): - В треугольнике \(OMK\): - \(OK\) и \(OM\) — радиусы, равны. - \(\angle OMK\) — это угол при \(M\). - Заметим, что: \[ \angle OMK = \arccos \left( \frac{OK^2 + OK^2 - MK^2}{2 \times OK \times OK} \right) \] но проще рассуждать через дуги. --- ### Итоговая формула: Прямой ответ — это угол, образованный радиусом и хордой, связанный с дугой, которую она опирает. Общий результат: \(\angle OMK = \frac{1}{2}\times\) дуга между радиусами, то есть, в данном случае, половина дуги \(KM\), то есть: \[ \boxed{30^\circ 30'} \] --- ## Итог: \[ \boxed{\angle OMK = 30^\circ 30'} \] --- Если нужно более точное объяснение или уточнение, могу дополнить!