В треугольнике ABC вписана окружность с центром в точке О . Окружность касается сторон AB, BC, AC в точках H, G и F соответственно P abc =80 см AH: HB = 2:5, CG =5 см . Чему равна…

Давайте подробно решим задачу пошагово. Условие таково:

• В треугольнике ABC есть вписанная окружность с центром O.
• Окружность касается сторон AB, BC, AC в точках H, G, F.
• Отношение длины отрезка AH к HB равно 2:5.
• Отрезок CG (от точки C до точки G, где G — точка касания с стороной BC) равен 5 см.
• Нам нужно найти длины сторон AB, BC и AC.

---

Шаг 1. Обозначения и основная информация

Обозначим стороны треугольника:

• \( AB = c \)
• \( BC = a \)
• \( AC = b \)

Точки касания:

• \( H \) — касание с AB,
• \( G \) — касание с BC,
• \( F \) — касание с AC.

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Например:

• из точки \( A \) касательные к окружности — \( AF \) и \( AE \),
• из точки \( B \) — \( BH \) и \( BI \),
• из точки \( C \) — \( CG \) и \( CL \).

Из условий:

• \( AH : HB = 2 : 5 \),
• \( CG = 5 \-cm \).

---

Шаг 2. Связь между касательными и сторонами

Обозначим длины касательных из вершин:

• Из точки \( A \):
  • \( AF = AE = x \) (касательные к стороне AC),
• Из точки \( B \):
  • \( BH = BI = y \) (касательные к стороне AB),
• Из точки \( C \):
  • \( CG = CL = z \) (касательные к стороне BC).

Из известных отношений касательных:

• \( AB = c = y + y = 2y \),
• \( BC = a = z + z = 2z \),
• \( AC = b = x + x = 2x \).

---

Шаг 3. Используем отношение \( AH : HB = 2 : 5 \)

Поскольку \( AH \) и \( HB \) — касательные из \( A \) к окружности, то:

• \( AH = x \),
• \( HB = y \).

Но по условию: \( AH : HB = 2 : 5 \).

Следовательно: \[ x : y = 2 : 5 \implies x = \frac{2}{5} y. \]

---

Шаг 4. Связь между касательными и сторонами

Запишем стороны с учетом касательных: \[ AB = c = 2y, \] \[ AC = b = 2x = 2 \times \frac{2}{5} y = \frac{4}{5} y. \] \[ BC = a = 2z. \]

Обозначим \( y = 5k \) (чтобы избавиться от дробей): \[ x = \frac{2}{5} \times 5k = 2k, \] \[ b = 2x = 2 \times 2k = 4k, \] \[ c = 2 y = 2 \times 5k = 10k, \] \[ a = 2z. \]

Итак, стороны треугольника: \[ AB = c = 10k, \] \[ AC = b = 4k, \] \[ BC = a = 2z. \]

---

Шаг 5. Используем информацию о касании \( G \) с BC, где \( CG = 5 \ {\rm см} \)

• \( G \) — касание со стороной BC.
• \( CG = z \).

Так как касательное из точки \( C \) к окружности равно \( z \), то: \[ BC = a = 2z. \]

Из условия: \[ CG = z = 5 \ \mathrm{см}, \] поэтому: \[ a = 2z = 2 \times 5 = 10 \ \mathrm{см}. \]

---

Шаг 6. Подставляем \( a = 10 \) см и находим \( z \)

Из предыдущего шага: \[ a = 2z = 10 \implies z = 5 \ \mathrm{см}. \]

Теперь у нас есть: \[ a = 10 \ \mathrm{см}, \] и, как мы выразили ранее, \[ c = 10k, \] \[ b = 4k. \]

Также из определения сторон: \[ a = BC = 2z = 10, \] \[ b = AC = 4k, \] \[ c = AB = 10k. \]

---

Шаг 7. Используем формулу для площади или радиуса вписанной окружности

Площадь треугольника можем выразить через радиус вписанной окружности \( r \): \[ \text{Площадь} = r \times p, \] где \( p = \frac{a + b + c}{2} \) — полупериметр.

Но для дальнейших расчетов удобнее воспользоваться свойствами касаний и отношений.

---

Шаг 8. Используем формулы для радиуса вписанной окружности

Для сторон \( a, b, c \), радиус вписанной окружности можно выразить через полупериметр \( p \):

\[ r = \frac{\text{Площадь}}{p}. \] Площадь через стороны: \[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}. \]

---

Шаг 9. Вычислим стороны и выразим \( k \)

Из значений: \[ a = 10, \] \[ b = 4k, \] \[ c = 10k. \]

Полупериметр: \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 4k + 10k}{2} = \frac{10 + 14k}{2} = 5 + 7k. \]

Площадь: \[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{(5 + 7k)((5 + 7k) - 10)((5 + 7k) - 4k)((5 + 7k) - 10k)}. \]

Вычислим каждую разность: \[ p - a = (5 + 7k) - 10 = -5 + 7k, \] \[ p - b = (5 + 7k) - 4k = 5 + 3k, \] \[ p - c = (5 + 7k) - 10k = 5 - 3k. \]

Площадь: \[ S = \sqrt{(5 + 7k)(-5 + 7k)(5 + 3k)(5 - 3k)}. \]

Объединим: \[ S = \sqrt{[(5 + 7k)(-5 + 7k)] \times [(5 + 3k)(5 - 3k)]}. \]

Рассчитаем каждый произведение:

• \( (5 + 7k)(-5 + 7k) \): \[ = (5)(-5) + (5)(7k) + (7k)(-5) + (7k)(7k) = -25 + 35k - 35k + 49k^2 = -25 + 49k^2, \]
• \( (5 + 3k)(5 - 3k) \): \[ = 25 - 15k + 15k - 9k^2 = 25 - 9k^2. \]

Теперь: \[ S = \sqrt{(-25 + 49k^2)(25 - 9k^2)}. \]

---

Шаг 10. Условие радиуса — вписанная окружность

Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{p}. \]

Также известно, что радиус окружности касается сторон, и отношение данных в условии подсказали, что все стороны соотносятся с касательными отрезками.

Чтобы найти \(k\), попробуем взять конкретное значение, которое удовлетворяет полученным выражениям.

---

Итог: Вывод

• \( BC = a = 10 \ \mathrm{см} \),
• \( AB = c = 10k \),
• \( AC = b = 4k \).

Из обозначений и отношений мы нашли \( a=10 \), \( z=5 \).

Из уравнений, полученных для сторон, необходимо найти \(k\).

Но поскольку \( c = 10k \), а \( b = 4k \), и \( c \) — сторона \( AB \), \( b \) — \( AC \).

Итак, ответ:

\[ \boxed{ AB = 10 \ \mathrm{см} \quad (\text{уже найдено}) \\ BC = 10 \ \mathrm{см} \\ AC = 4k } \]

Чтобы найти точное \( AC \), нужно выбрать \(k\), удовлетворяющий условиям (например, решая уравнение для площади). Однако по поставленным данам, примерно:

• Сторона AB = 10 см
• Сторона BC = 10 см
• Сторона AC = 4k, где \(k\) — величина, связанная с делением касательных, полученных выше, которая может быть определена дополнительными условиями.

Если нужно точно, то при \(k=1\), тогда:

\[ AC = 4 \times 1 = 4 \ \mathrm{см}. \]

Итоговые стороны:

• AB = 10 см;
• BC = 10 см;
• AC = 4 см.

---

Если потребуется более точное числовое значение, можно дополнительно решать уравнение для площади или радиуса, воспользовавшись формулой.