5. Треугольник DBC - равнобедренный с основанием BD = 10 см, а периметр треугольника равен 34 см. Найдите длину отрезка BN (N - точка касания вписанной окружности со стороной BD).

Давайте подробно решим задачу, исходя из предоставленных условий и целей — понять, как найти длину отрезка BN, где N — точка касания вписанной окружности со стороной BD треугольника DBC, который является равнобедренным. --- **Шаг 1: Анализ условий задачи** - Треугольник DBC равнобедренный, при этом основание BD = 10 см. - Периметр треугольника DBC равен 34 см. - N — точка касания вписанной окружности со стороной BD. - Нужно найти длину сегмента BN. --- **Шаг 2: Что известно и что нужно найти** - В равнобедренном треугольнике DBC, с базой BD, стороны DC и BC равны (так как он равнобедренный относительно основания BD). - Периметр: \( D B + B C + C D = 34 \). Обозначим стороны: - \( BD = 10 \) см, - остальные две стороны: \( BC = DC = x \). Тогда: \[ BD + BC + CD = 10 + x + x = 34, \] \[ 10 + 2x = 34, \] \[ 2x = 24, \] \[ x = 12. \] Итак, - \( BC = DC = 12 \) см. --- **Шаг 3: Что такое точка касания N?** N — это точка касания вписанной окружности со стороной BD. Поскольку вписанная окружность касается каждой стороны в одной точке, радиус вписанной окружности касается каждой стороны ровно в одной точке. Для стороны BD точка касания N — точка на стороне BD. **Важно:** Вписанная окружность касается стороны в одной точке, и отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания, равны полусумме сторон, прилегающих к этим вершинам (формула для сторон и точек касания). --- **Шаг 4: Свойство касательных и точки касания** Обозначим: - \( N \) — точка касания стороны BD. - \( BN \) — искомая длина сегмента, которая нам нужна. По свойствам вписанной окружности: - Расстояния от вершины до точек касания связаны со сторонами: \[ \text{если} \quad A, B, C \quad \text{– вершины треугольника, то:} \] - Расстояние от вершины до точки касания со стороной, например, со стороны AB, равно полусумме сторон, прилегающих к вершине A и стороне AB. Однако в данном случае, для нахождения точной длины BN, проще рассчитать положение точки касания N относительно стороны BD. --- **Шаг 5: Расчёт точки касания N** Вписанная окружность делит стороны в определённых пропорциях. Для стороны BD: - Пусть треугольник DBC, сторона BD, касательная вписанной окружности к стороне BD делится на отрезки, пропорциональные соседним сторонам. Формула для точки касания N (ближе к вершине B) говорит о том, что: \[ BN = s - c, \] где \( s \) — полупериметр треугольника DBC, \[ s = \frac{34}{2} = 17, \] и \( c \) — длина стороны BD, т.е. 10. Тогда, \[ BN = s - c = 17 - 10 = 7. \] **Обоснование:** Постоянная пропорциональность для длины сегмента BN равна разнице между полупериметром и длиной стороны BD. --- ### Итог: **Ответ: длина отрезка BN равна 7 см.** --- Если нужно более подробно или есть вопросы, я готов помочь!