Точка М – середина хорды ВС, О – центр окружности. Найдите ∠MBO, если ∠BОС=146°

Давайте подробно разберём задачу. **Дано:** - Точка \( M \) — середина хорды \( BC \). - \( O \) — центр окружности. - Угол \( \angle BOC = 146^\circ \). Нужно найти угол \( \angle MBO \). --- ### Шаг 1. Что известно и что нужно найти? - Центр окружности \( O \). - \( B \), \( C \) — точки на окружности. - \( M \) — середина хорды \( BC \). - \( O \) — центр окружности. - \( \angle BOC = 146^\circ \). Искусствуемемся определить, как связаны эти элементы. В первую очередь, можем заметить: - Углы \( \angle BOC \) — центральный угол, они опираются на дугу \( BC \). - Так как \( M \) — середина хорды \( BC \), то она может иметь определённые свойства относительно центра. --- ### Шаг 2. Свойства радиусов и хорд - Радиусы \( OB \) и \( OC \) равны, так как \( O \) — центр окружности. - \( M \) — середина хорды \( BC \). В любом круге, перпендикуляр, проведённый из центра \( O \) к хорде \( BC \), делит эту хорду пополам и является перпендикуляром к ней: \[ OM \perp BC, \] и \( M \) — середина \( BC \). --- ### Шаг 3. Связь центрального и вписанного углов - Угол \( \angle BOC = 146^\circ \) — центральный угол, он опирается на дугу \( BC \). - Вписанный угол, например \( \angle BMC \), который опирается на ту же дугу \( BC \), равен половине центрального угла, то есть: \[ \angle BMC = \frac{1}{2} \times \angle BOC = \frac{146^\circ}{2} = 73^\circ. \] --- ### Шаг 4. Рассмотрим треугольник \( OMB \) - Точки \( B \) и \( C \) лежат на окружности, а \( M \) — середина хорды \( BC \), которая перпендикулярна радиусу \( OM \). - В треугольнике \( OMB \): - \( OB \) — радиус окружности. - \( OM \) — перпендикуляр к \( BC \), а \( M \) — середина хорды, следовательно, \( M \) лежит на высоте, делящей дугу \( BC \), и через \( O \). --- ### Шаг 5. Отношения и вычисление искомого угла \( \angle MBO \) - Мы ищем угол \( \angle MBO \), то есть угол между радиусом \( OB \) и линией \( MB \). - Поскольку \( M \) — середина хорды \( BC \), и \( OM \) — перпендикуляр к \( BC \), то: \[ \angle OMB = 90^\circ \] - В треугольнике \( OMB \): - \( OB = R \) (радиус), - \( OM \perp BC \), - \( M \) лежит на высоте, делящей хорду пополам. - Чтобы найти \( \angle MBO \), заметим, что: \[ \angle MBO = \angle OBC \] и этот угол является вписанным, опирающимся на дугу, которая насыщена центральным углом \( \angle BOC = 146^\circ \). --- ### Итоговое решение: При построении окружности и задачах такого типа видно, что: - Центр \( O \) и точка \( B \) — радиус, - \( M \) — середина хорды, при этом \( OM \) — перпендикуляр. Следовательно, угол \( \angle MBO \) — это половина от \( \angle BOC \) (так как \( M \) — середина хорды и учитываем свойства вписанных углов). Значит: \[ \boxed{ \angle MBO = \frac{\angle BOC}{2} = \frac{146^\circ}{2} = 73^\circ. } \]