Точка М – середина хорды ВС, О – центр окружности. Найдите ∠MBO, если ∠BОС=146°

Давайте подробно разберём задачу.

Дано:

• Точка \( M \) — середина хорды \( BC \).
• \( O \) — центр окружности.
• Угол \( \angle BOC = 146^\circ \).

Нужно найти угол \( \angle MBO \).

Шаг 1. Что известно и что нужно найти?

• Центр окружности \( O \).
• \( B \), \( C \) — точки на окружности.
• \( M \) — середина хорды \( BC \).
• \( O \) — центр окружности.
• \( \angle BOC = 146^\circ \).

Искусствуемемся определить, как связаны эти элементы. В первую очередь, можем заметить:

• Углы \( \angle BOC \) — центральный угол, они опираются на дугу \( BC \).
• Так как \( M \) — середина хорды \( BC \), то она может иметь определённые свойства относительно центра.

Шаг 2. Свойства радиусов и хорд

• Радиусы \( OB \) и \( OC \) равны, так как \( O \) — центр окружности.

• \( M \) — середина хорды \( BC \). В любом круге, перпендикуляр, проведённый из центра \( O \) к хорде \( BC \), делит эту хорду пополам и является перпендикуляром к ней:

  \[ OM \perp BC, \]

  и \( M \) — середина \( BC \).

Шаг 3. Связь центрального и вписанного углов

• Угол \( \angle BOC = 146^\circ \) — центральный угол, он опирается на дугу \( BC \).

• Вписанный угол, например \( \angle BMC \), который опирается на ту же дугу \( BC \), равен половине центрального угла, то есть:

\[ \angle BMC = \frac{1}{2} \times \angle BOC = \frac{146^\circ}{2} = 73^\circ. \]

Шаг 4. Рассмотрим треугольник \( OMB \)

• Точки \( B \) и \( C \) лежат на окружности, а \( M \) — середина хорды \( BC \), которая перпендикулярна радиусу \( OM \).

• В треугольнике \( OMB \):

  • \( OB \) — радиус окружности.
  • \( OM \) — перпендикуляр к \( BC \), а \( M \) — середина хорды, следовательно, \( M \) лежит на высоте, делящей дугу \( BC \), и через \( O \).

Шаг 5. Отношения и вычисление искомого угла \( \angle MBO \)

• Мы ищем угол \( \angle MBO \), то есть угол между радиусом \( OB \) и линией \( MB \).

• Поскольку \( M \) — середина хорды \( BC \), и \( OM \) — перпендикуляр к \( BC \), то:

\[ \angle OMB = 90^\circ \]

• В треугольнике \( OMB \):

  • \( OB = R \) (радиус),
  • \( OM \perp BC \),
  • \( M \) лежит на высоте, делящей хорду пополам.

• Чтобы найти \( \angle MBO \), заметим, что:

\[ \angle MBO = \angle OBC \]

и этот угол является вписанным, опирающимся на дугу, которая

насыщена центральным углом \( \angle BOC = 146^\circ \).

Итоговое решение:

При построении окружности и задачах такого типа видно, что:

• Центр \( O \) и точка \( B \) — радиус,
• \( M \) — середина хорды, при этом \( OM \) — перпендикуляр.

Следовательно, угол \( \angle MBO \) — это половина от \( \angle BOC \) (так как \( M \) — середина хорды и учитываем свойства вписанных углов).

Значит: \[ \boxed{ \angle MBO = \frac{\angle BOC}{2} = \frac{146^\circ}{2} = 73^\circ. } \]