Один из углов прямоугольного треугольника в три раза меньше другого угла. Найдите все углы этого треугольника. Разберите два случая

Давайте решать задачу поэтапно, учитывая, что один из острых углов прямоугольного треугольника в три раза меньше другого.
Мы рассматриваем оба варианта, как указано, — с различными углами.

Обозначения

Пусть:

• один из острых углов — β,
• другой острый угол — α,
• прямой угол — γ = 90°.

Известно, что один из острых углов в 3 раза меньше другого: \[ \text{Допустим, } \beta = 3\alpha \]

Первый случай: \(\beta = 3\alpha\)

Шаг 1. Используем сумму углов треугольника

В любом треугольнике сумма углов равна 180°: \[ \alpha + \beta + \gamma = 180° \] Подставляем значения: \[ \alpha + 3\alpha + 90° = 180° \] \[ 4\alpha + 90° = 180° \] \[ 4\alpha = 180° - 90° = 90° \] \[ \alpha = \frac{90°}{4} = 22.5° \]

Шаг 2. Определяем другой острый угол:

\[ \beta = 3\alpha = 3 \times 22.5° = 67.5° \]

Итог:

• \( \alpha = 22.5° \)
• \( \beta = 67.5° \)
• \( \gamma = 90° \)

Второй случай: \(\alpha = 3\beta\)

Шаг 1. Аналогично, используем сумму углов:

\[ \alpha + \beta + 90° = 180° \] подставляем \(\alpha = 3\beta\): \[ 3\beta + \beta + 90° = 180° \] \[ 4\beta + 90° = 180° \] \[ 4\beta = 90° \] \[ \beta = 22.5° \] и тогда: \[ \alpha = 3 \times 22.5° = 67.5° \]

Итог:

• \( \beta = 22.5° \)
• \( \alpha = 67.5° \)
• \( \gamma = 90° \)

Итоговые ответы:

1. Первый случай: острые углы — 22.5° и 67.5°.
2. Второй случай: острые углы — 67.5° и 22.5°.

В обоих случаях сумма углов равна 180°, а один угол в три раза меньше другого, что соответствует условию задачи.

Если вы хотите более подробно объяснить каждый шаг или есть дополнительные вопросы — обращайтесь!