Найдите площадь поверхности и сумму длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда если его ширина в четыре раза меньше длины и на 14,2 см меньше высоты а сумма трёх измерений…
Найдите площадь поверхности и сумму длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда если его ширина в четыре раза меньше длины и на 14,2 см меньше высоты а сумма трёх измерений равна 74,2 см
Давайте подробно решим задачу о прямоугольном параллелепипеде по шагам.
Дано:
- Ширина (W) в 4 раза меньше длины (L):
\( W = \frac{L}{4} \) - Ширина на 14,2 см меньше высоты (H):
\( W = H - 14,2 \) - Сумма трёх измерений равна 74,2 см:
\( L + W + H = 74,2 \)
Шаг 1: Запишем уравнения
Из условий:
- \( W = \frac{L}{4} \) (1)
- \( W = H - 14,2 \) (2)
- \( L + W + H = 74,2 \) (3)
Шаг 2: Выразим \( W \) и \( H \) через \( L \)
Из (1), подставим \( W = \frac{L}{4} \) в уравнение (2):
\[ \frac{L}{4} = H - 14,2 \]
Отсюда найдём \( H \):
\[ H = \frac{L}{4} + 14,2 \]
Шаг 3: Подставим выражения в уравнение (3)
Подставим \( W = \frac{L}{4} \) и \( H = \frac{L}{4} + 14,2 \) в (3):
\[ L + \frac{L}{4} + \left(\frac{L}{4} + 14,2\right) = 74,2 \]
Объединим подобные слагаемые:
\[ L + \frac{L}{4} + \frac{L}{4} + 14,2 = 74,2 \]
\[ L + \frac{L}{4} + \frac{L}{4} = 74,2 - 14,2 \]
\[ L + \frac{L}{4} + \frac{L}{4} = 60 \]
Объединим дроби:
\[ L + \frac{L}{4} + \frac{L}{4} = L + \frac{2L}{4} = L + \frac{L}{2} \]
Объединяем:
\[ L + \frac{L}{2} = 60 \]
Запишем как уравнение:
\[ \frac{2L}{2} + \frac{L}{2} = 60 \]
\[ \frac{3L}{2} = 60 \]
Чтобы найти \( L \), умножим обе части уравнения на 2:
\[ 3L = 120 \]
\[ L = 40 \]
Шаг 4: Найдём \( W \) и \( H \)
Теперь подставим \( L = 40 \):
\( W = \frac{L}{4} = \frac{40}{4} = 10 \)
\( H = \frac{L}{4} + 14,2 = 10 + 14,2 = 24,2 \)
Шаг 5: Найдём площадь поверхности
Площадь поверхности \( S \) прямоугольного параллелепипеда:
\[ S = 2 (L W + L H + W H) \]
Подставим известные значения:
\[ S = 2 (40 \times 10 + 40 \times 24,2 + 10 \times 24,2) \]
Вычислим отдельно каждое произведение:
- \( 40 \times 10 = 400 \)
- \( 40 \times 24,2 = 968 \)
- \( 10 \times 24,2= 242 \)
Теперь сложим:
\[ 400 + 968 + 242 = 1610 \]
Умножим на 2:
\[ S = 2 \times 1610 = 3220 \text{ см}^2 \]
Шаг 6: Найдём сумму длин всех рёбер
Длина всех рёбер:
\[ P = 4 (L + W + H) \]
Подставляем значения:
\[ P = 4 (40 + 10 + 24,2) = 4 \times 74,2 = 296,8 \text{ см} \]
Итог:
- Площадь поверхности: 3220 см²
- Сумма длин всех рёбер: 296,8 см
Если есть вопросы или нужно объяснение подробнее — спрашивайте!
