Каждому из четырёх неравенств в первом столбце соответствует одно из решений во втором столбце. Установи соответствие между неравенствами и их решениями. НЕРАВЕНСТВА А) 5^− x + 2 < 0 , 04 5 −x+2 <0,04 Б) ( x − 4 )^2/x − 1 < 0 В) log_4 x < 1 Г) ( x − 4 ) ( x − 1 ) < 0 РЕШЕНИЯ 1) ( − ∞ ; 1 ) 2) ( 0 ; 4 ) 3) ( 1 ; 4 ) 4) ( 4 ; + ∞ )
Давайте поэтапно разберем каждое неравенство и соответствующие решения.
---
### Неравенство А) \( 5^{-x} + 2 < 0,04 \)
**Обоснование:**
1. Вычитаем 2 из обеих частей:
\[
5^{-x} < 0,04 - 2 = -1,96
\]
2. Но левый член \( 5^{-x} \) — это экспоненциальная функция, которая всегда положительна для любого real \(x\).
**Следовательно,** неравенство \( 5^{-x} < -1,96 \) невозможно, поскольку:
- \( 5^{-x} > 0 \) для всех \( x \).
**Вывод:** Решений нет.
**Ответ:** пустой интервал, который в данном варианте пуст, значит соответствия для этого неравенства в списке решений нет. Вариантов, где решений 0, не дано, и можно предположить, что он не связан с ни одним из решений.
---
### Неравенство Б) \(\displaystyle \frac{(x - 4)^2}{x - 1} < 0 \)
**Обоснование:**
1. \((x - 4)^2 \ge 0\) — квадрат, поэтому неотрицателен.
2. Чтобы отношение было < 0, делимое и делитель должны иметь разные знаки:
- \((x - 4)^2 \ge 0\) всегда
- \(x - 1\) должен быть < 0, чтобы весь дробь был < 0
3. Значит:
\[
x - 1 < 0 \Rightarrow x < 1
\]
В этом случае дробь отрицательна, только когда числитель — строго > 0, то есть \(x \neq 4\).
4. Но так как \((x - 4)^2 \ge 0\), и оно равно 0 при \(x=4\), то в этом случае дробь равна 0, а не < 0.
Поэтому, дробь строго отрицательна, только если \(x \neq 4\) и \(x < 1\).
**Решение:**
\[
x \in (-\infty, 1), \quad x \neq 4
\]
Поскольку \(x<1\), то \(x \neq 4\) — автоматически выполнено.
**Ответ:** (−∞; 1)
---
### Неравенство В) \(\log_4 x < 1\)
**Обоснование:**
1. Перепишем неравенство в экспоненциальной форме:
\[
x < 4^1 = 4
\]
2. Также учитываем область определения логарифма: \(x > 0\).
**Следовательно, решение:**
\[
x \in (0, 4)
\]
**Ответ:** (0; 4)
---
### Неравенство Г) \(\displaystyle (x - 4)(x - 1) < 0\)
**Обоснование:**
1. Условие: произведение двух выражений отрицательно, значит, один из множителей положителен, а другой отрицателен.
2. Решим неравенство:
\[
(x - 4)(x - 1) < 0
\]
3. Знаки множителей меняются в точках 1 и 4:
- при \(x < 1\), оба множителя отрицательны \(\Rightarrow\) произведение положительно
- при \(x \in (1, 4)\), один множитель положителен, другой отрицателен \(\Rightarrow\) произведение отрицательно
- при \(x > 4\), оба положительны \(\Rightarrow\) произведение положительно
4.Следовательно, решение:
\[
x \in (1, 4)
\]
**Ответ:** (1; 4)
---
## Итоговое соответствие:
| Неравенство | Решение |
|--------------|-----------|
| А) \( 5^{-x} + 2 < 0,04 \) | Не подходит (нет решений) |
| Б) \( \frac{(x - 4)^2}{x - 1} < 0 \) | 1) \((- \infty, 1)\) |
| В) \( \log_4 x < 1 \) | 2) \((0, 4)\) |
| Г) \( (x - 4)(x - 1) < 0 \) | 3) \((1, 4)\) |
**Вариант 1 не подходит (нет решений для А), но он отсутствует.**
**Правильное соответствие:**
- Б) — 1) \((- \infty, 1)\)
- В) — 2) \((0, 4)\)
- Г) — 3) \((1, 4)\)
---
Если нужно, я могу помочь с оформлением ответа!
