Понял! Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждый этап.
Задача:
Дано колебание материальной точки:
[ x(t) = 6 \cos(t + 0{,}2) ]
Требуется найти в момент времени ( t = 4 ):
- скорость ( v(t) ),
- ускорение ( a(t) ),
- смещение ( x(t) ).
Шаг 1: Найти скорость ( v(t) )
Когда функция положения задана как ( x(t) = 6 \cos(t + 0,2) ), скорость — это первая производная ( x(t) ) по времени ( t ).
[
v(t) = \frac{d x(t)}{dt}
]
Производная функции косинуса:
[
\frac{d}{dt} [\cos(u)] = -\sin(u) \cdot \frac{du}{dt}
]
где ( u = t + 0,2 ). Производная ( u ) по ( t )- это 1.
Рассчитаем:
[
v(t) = 6 \cdot (-\sin(t + 0,2)) \cdot 1 = -6 \sin(t + 0,2)
]
Шаг 2: Найти ускорение ( a(t) )
Это вторая производная ( x(t) ):
[
a(t) = \frac{d v(t)}{dt}
]
[
a(t) = \frac{d}{dt} \left[-6 \sin(t + 0,2)\right]
]
Производная синуса:
[
\frac{d}{dt} [\sin(u)] = \cos(u) \cdot \frac{du}{dt}
]
где ( u = t + 0,2 ), ( \frac{du}{dt} = 1 ).
Получаем:
[
a(t) = -6 \cos(t + 0,2)
]
Шаг 3: Найти значения в момент ( t=4 )
- Общее значение ( x(4) ):
[
x(4) = 6 \cos(4 + 0,2) = 6 \cos(4,2)
]
Чтобы найти численное значение, используем калькулятор:
[
\cos(4,2) \approx -0,489
]
Следовательно,
[
x(4) = 6 \times (-0,489) \approx -2,934
]
- Скорость ( v(4) ):
[
v(4) = -6 \sin(4 + 0,2) = -6 \sin(4,2)
]
[
\sin(4,2) \approx -0,872
]
Следовательно,
[
v(4) = -6 \times (-0,872) \approx 5,232
]
- Ускорение ( a(4) ):
[
a(4) = -6 \cos(4 + 0,2) = -6 \times (-0,489) \approx 2,934
]
Ответ:
[
\boxed{
\begin{aligned}
x(4) &\approx -2,93 \
v(4) &\approx 5,23 \
a(4) &\approx 2,93
\end{aligned}
}
]
Это — смещение, скорость и ускорение материальной точки в момент времени ( t=4 ).
Если нужно сделать более подробное объяснение или есть дополнительные вопросы — я буду рад помочь!
