Дана прямоугольная трапеция АBCD (угол А=углу B=90 градусов), в которую вписана окружность радиусом 7 см. Сторона CD равна 18 см. Найди среднюю линию трапеции
Рассмотрим условие задачи: у нас есть прямоугольная трапеция \(ABCD\), где \(\angle A = \angle B = 90^\circ\), то есть трапеция является прямоугольной с углами в вершинах \(A\) и \(B\). Вписана окружность радиусом 7 см, и известно, что сторона \(CD = 18\) см. Нужно найти среднюю линию \(MN\) трапеции.
Шаг 1. Обозначения и параметры
Обозначим:
- \(AB\) — высота трапеции, проведённая вертикально.
- \(AD\) — основание, расположенное горизонтально.
- \(BC\) — другое основание.
- \(MN\) — средняя линия трапеции, которая параллельна основаниям и равна половине суммы оснований: \(\displaystyle MN = \frac{AB + DC}{2}\).
Но в этой задаче важно найти именно среднюю линию.
Шаг 2. Геометрические свойства трапеции
- \(AB\) и \(DC\) — основания.
- \(\angle A = \angle B = 90^\circ\) — значит, торец трапеции — прямой угол.
- Вписанная окружность означает, что трапеция является равноусной или просто — у неё есть внутренняя окружность.
Для трапеции с вписанной окружностью выполняется относительное равенство сторон:
\[ AB + DC = AD + BC \]
(сумма оснований равна сумме боковых сторон).
Шаг 3. Вписанная окружность и свойства
Поскольку окружность радиусом 7 см вписана в трапецию, касаясь всех сторон, то сумма длин пар противоположных сторон равна:
\[ AB + DC = AD + BC \]
Однако, так как угол \(\angle A\) и \(\angle B\) равен 90°, то:
\[ AB \perp AD \quad \text{и} \quad AB \perp BC, \]
что значительно упрощает конструкцию.
Шаг 4. Построение координат и вычисление
Обозначим:
- \(A = (0,0)\),
- \(B = (0, h)\), где \(h = AB\),
- \(D = (x_D, 0)\),
- \(C = (x_C, h)\).
Так как \(\angle A = 90^\circ\), то, по условию, отрезки \(AD\) и \(AB\) — касательные и перпендикулярны.
Также известно:
- \(DC = 18\) см, значит:
\[ x_C - x_D = 18 \]
Шаг 5. Связь с вписанной окружностью
Плоскостная окружность радиусом 7 см вписана, значит, её центр \(O\) — равноудален от всех сторон.
Поскольку у нас есть прямой угол, касательные к окружности от точек \(A\) и \(B\) имеют длину 7 см.
Можем принять:
- Центр \(O = (x_O, y_O)\).
Построим уравнение окружности и условий касания.
Шаг 6. Использование свойств касания и условий
Обозначим стороны так:
- \(AD = x_D - 0 = x_D\),
- \(BC = x_C - 0 = x_C\),
- \(AB = h\),
- \(DC = 18\).
Из равенства сторон с учётом вписанной окружности:
\[ AB + DC = AD + BC, \]
подставляем:
\[ h + 18 = x_D + x_C, \]
но \(x_C = x_D + 18\), следовательно:
\[ h + 18 = x_D + (x_D + 18) \implies h + 18 = 2x_D + 18, \]
откуда:
\[ h = 2x_D. \]
Это важное соотношение: высота трапеции равна \(2x_D\).
Шаг 7. Связь с радиусом окружности
Центр окружности размещается внутри трапеции, и радиус равен 7 см.
Касание сторон: учитывая прямой угол в \(A\) и \(B\), центр окружности расположен так, что расстояние от центра до каждой из сторон равно 7 см.
Условие касается:
- верхней стороны \(DC\),
- боковых сторон \(AD\) и \(BC\),
- и нижней стороны.
Из симметрии и о положения центра окружности следует, что координаты центра:
\[ O = (x_O, y_O), \]
где \(y_O\) внутри трапеции, а касания обеспечиваются равенством расстояний.
Шаг 8. Итоговое решение
Объединив все найденные сведения, формулы для средней линии (которая равна \(\frac{AD + BC}{2}\)) получим:
\[ MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{x_D + x_C}{2} = \frac{h + 18}{2}. \]
Как мы установили ранее:
\[ h = 2x_D, \]
значит,
\[ MN = \frac{2x_D + 18}{2} = x_D + 9. \]
Дополнительно, учитывая, что радиус 7 см конфигурирован так, что центр окружности находится внутри трапеции и соблюдаются условия касания, получаем, что:
\[ x_D = h/2, \]
а высота:
\[ h = 2x_D. \]
Значит, средняя линия:
\[ MN = x_D + 9, \]
а поскольку \(x_D = h/2\), получим:
\[ MN = \frac{h}{2} + 9. \]
Поскольку \(h\) связана с радиусом и длиной основания, и исходя из всех условий, окончательно:
\[ \boxed{ \text{Средняя линия} = \frac{h + DC}{2} = \frac{h + 18}{2}. } \]
Учитывая, что \(h = 2x_D\), и из условий радиуса окружности, \(h = 14\) см (по аналогии с касательностью и радиусом 7 см), получаем:
\[ MN = \frac{14 + 18}{2} = \frac{32}{2} = 16. \]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Средняя линия трапеции} = \boxed{16\, \text{см}} } \]
Если необходим двойной контроль, то в итоге, основываясь на условии, средняя линия равна 16 см.
