Дана прямоугольная трапеция АBCD (угол А=углу B=90 градусов), в которую вписана окружность радиусом 7 см. Сторона CD равна 18 см. Найди среднюю линию трапеции

Рассмотрим условие задачи: у нас есть прямоугольная трапеция \(ABCD\), где \(\angle A = \angle B = 90^\circ\), то есть трапеция является прямоугольной с углами в вершинах \(A\) и \(B\). Вписана окружность радиусом 7 см, и известно, что сторона \(CD = 18\) см. Нужно найти среднюю линию \(MN\) трапеции. --- ### Шаг 1. Обозначения и параметры Обозначим: - \(AB\) — высота трапеции, проведённая вертикально. - \(AD\) — основание, расположенное горизонтально. - \(BC\) — другое основание. - \(MN\) — средняя линия трапеции, которая параллельна основаниям и равна половине суммы оснований: \(\displaystyle MN = \frac{AB + DC}{2}\). Но в этой задаче важно найти именно среднюю линию. --- ### Шаг 2. Геометрические свойства трапеции - \(AB\) и \(DC\) — основания. - \(\angle A = \angle B = 90^\circ\) — значит, торец трапеции — прямой угол. - Вписанная окружность означает, что трапеция является равноусной или просто — у неё есть внутренняя окружность. Для трапеции с вписанной окружностью выполняется относительное равенство сторон: \[ AB + DC = AD + BC \] (сумма оснований равна сумме боковых сторон). --- ### Шаг 3. Вписанная окружность и свойства Поскольку окружность радиусом 7 см вписана в трапецию, касаясь всех сторон, то сумма длин пар противоположных сторон равна: \[ AB + DC = AD + BC \] Однако, так как угол \(\angle A\) и \(\angle B\) равен 90°, то: \[ AB \perp AD \quad \text{и} \quad AB \perp BC, \] что значительно упрощает конструкцию. --- ### Шаг 4. Построение координат и вычисление Обозначим: - \(A = (0,0)\), - \(B = (0, h)\), где \(h = AB\), - \(D = (x_D, 0)\), - \(C = (x_C, h)\). Так как \(\angle A = 90^\circ\), то, по условию, отрезки \(AD\) и \(AB\) — касательные и перпендикулярны. Также известно: - \(DC = 18\) см, значит: \[ x_C - x_D = 18 \] --- ### Шаг 5. Связь с вписанной окружностью Плоскостная окружность радиусом 7 см вписана, значит, её центр \(O\) — равноудален от всех сторон. Поскольку у нас есть прямой угол, касательные к окружности от точек \(A\) и \(B\) имеют длину 7 см. Можем принять: - Центр \(O = (x_O, y_O)\). Построим уравнение окружности и условий касания. --- ### Шаг 6. Использование свойств касания и условий Обозначим стороны так: - \(AD = x_D - 0 = x_D\), - \(BC = x_C - 0 = x_C\), - \(AB = h\), - \(DC = 18\). Из равенства сторон с учётом вписанной окружности: \[ AB + DC = AD + BC, \] подставляем: \[ h + 18 = x_D + x_C, \] но \(x_C = x_D + 18\), следовательно: \[ h + 18 = x_D + (x_D + 18) \implies h + 18 = 2x_D + 18, \] откуда: \[ h = 2x_D. \] Это важное соотношение: высота трапеции равна \(2x_D\). --- ### Шаг 7. Связь с радиусом окружности Центр окружности размещается внутри трапеции, и радиус равен 7 см. Касание сторон: учитывая прямой угол в \(A\) и \(B\), центр окружности расположен так, что расстояние от центра до каждой из сторон равно 7 см. Условие касается: - верхней стороны \(DC\), - боковых сторон \(AD\) и \(BC\), - и нижней стороны. Из симметрии и о положения центра окружности следует, что координаты центра: \[ O = (x_O, y_O), \] где \(y_O\) внутри трапеции, а касания обеспечиваются равенством расстояний. --- ### Шаг 8. Итоговое решение Объединив все найденные сведения, формулы для средней линии (которая равна \(\frac{AD + BC}{2}\)) получим: \[ MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{x_D + x_C}{2} = \frac{h + 18}{2}. \] Как мы установили ранее: \[ h = 2x_D, \] значит, \[ MN = \frac{2x_D + 18}{2} = x_D + 9. \] Дополнительно, учитывая, что радиус 7 см конфигурирован так, что центр окружности находится внутри трапеции и соблюдаются условия касания, получаем, что: \[ x_D = h/2, \] а высота: \[ h = 2x_D. \] Значит, средняя линия: \[ MN = x_D + 9, \] а поскольку \(x_D = h/2\), получим: \[ MN = \frac{h}{2} + 9. \] Поскольку \(h\) связана с радиусом и длиной основания, и исходя из всех условий, окончательно: \[ \boxed{ \text{Средняя линия} = \frac{h + DC}{2} = \frac{h + 18}{2}. } \] Учитывая, что \(h = 2x_D\), и из условий радиуса окружности, \(h = 14\) см (по аналогии с касательностью и радиусом 7 см), получаем: \[ MN = \frac{14 + 18}{2} = \frac{32}{2} = 16. \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Средняя линия трапеции} = \boxed{16\, \text{см}} } \] Если необходим двойной контроль, то в итоге, основываясь на условии, средняя линия равна **16 см**.