Давайте рассмотрим задачу: найти 4-й член геометрической прогрессии, заданной последовательностью 2, 1½, …
Шаг 1. Определим первый член прогрессии (a₁):
[ a₁ = 2 ]
Шаг 2. Найдём знаменатель прогрессии (q):
Второй член прогрессии — это 1½, то есть
[ a₂ = \frac{3}{2} ]
Знаменатель можно найти из соотношения:
[ q = \frac{a₂}{a₁} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3/2}{2} = \frac{3/2}{2/1} ]
Деление дробей:
[ q = \frac{3/2}{2/1} = \frac{3/2 \times 1/2} = \frac{3 \times 1}{2 \times 2} = \frac{3}{4} ]
Шаг 3. Найдём следующий (третий) и четвёртый члены:
Общий вид n-го члена геометрической прогрессии:
[ a_n = a_1 \times q^{n-1} ]
Для 3-го члена:
[ a_3 = a_1 \times q^{2} = 2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 2 \times \frac{9}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8} ]
Для 4-го члена:
[ a_4 = a_1 \times q^{3} = 2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^3 = 2 \times \frac{27}{64} = \frac{54}{64} = \frac{27}{32} ]
Ответ:
Четвёртый член прогрессии равен (\boxed{\frac{27}{32}}).
