Периметр прямоугольной трапеции  A B C D ABCD равен  18 18. Большая боковая сторона равна  5 5. Найди диаметр вписанной в трапецию окружности.

Давайте решим задачу пошагово с подробными объяснениями. **Дано:** - Периметр трапеции ABCD равен 18. - Большая боковая сторона равна 5. - Нужно найти диаметр вписанной окружности (то есть, диаметр окружности, которая касается всех сторон трапеции). --- ### Шаг 1. Обозначения и свойства трапеции Обозначим: - Боковые стороны: \( AD \) и \( BC \). - Базы: \( AB \) (большая) и \( CD \) (меньшая). Из условия: - \( AD = 5 \) (большая боковая сторона). Поскольку трапеция имеет вписанную окружность, то выполняется важное свойство: **Сумма длин оснований равна сумме боковых сторон:** \[ AB + CD = AD + BC \] Когда трапеция может иметь вписанную окружность, сумма длин оснований равна сумме боковых сторон. --- ### Шаг 2. Используем условия для вписанной окружности Пусть: - \( AB = a \), - \( CD = c \), - \( BC = d \), - \( AD = 5 \). Сумма боковых сторон: \( d + 5 \). Т.к. окружность вписана, то: \[ a + c = d + 5 \] --- ### Шаг 3. Используем периметр Периметр \( P = 18 \): \[ a + c + d + 5 = 18 \] Подставим \( a + c = d + 5 \): \[ (d + 5) + d + 5 = 18 \] \[ 2d + 10 = 18 \] \[ 2d = 8 \] \[ d = 4 \] Теперь найдём \( a + c \): \[ a + c = d + 5 = 4 + 5 = 9 \] --- ### Шаг 4. Определим размеры оснований Из вышеприведённых данных: - \( a + c = 9 \), - \( d = 4 \), - \( AD = 5 \). Так как \( AB = a \), \( CD = c \). --- ### Шаг 5. Свойства вписанной окружности и касательные Для трапеции с вписанной окружностью касательные из одной точки к окружности равны. Тогда: - Из вершины \( A \) касательные к окружности равны \( x_a \), - из вершины \( B \) — \( x_b \), - и так далее. В трапеции с вписанной окружностью: \[ \text{(касательные из } A) = x_a, \quad \text{(касательные из } B) = x_b, \quad \text{и т.п.} \] Ингда, со свойствами касательных, имеем: \[ AB = x_a + x_b, \] \[ BC = x_b + x_c, \] \[ CD = x_c + x_d, \] \[ DA = x_d + x_a. \] Известно, что: - \( AB = a \), - \( BC = d = 4 \), - \( CD = c \), - \( DA = 5 \). Также, из этих равенств: \[ a = x_a + x_b, \] \[ 4 = x_b + x_c, \] \[ c = x_c + x_d, \] \[ 5 = x_d + x_a. \] --- ### Шаг 6. Разводим систему Отсюда: \[ a = x_a + x_b, \] \[ c = x_c + x_d, \] \[ 4 = x_b + x_c, \] \[ 5 = x_d + x_a. \] Перепишем: \[ x_b = 4 - x_c, \] \[ x_d = 5 - x_a. \] Подставим \( x_b \) и \( x_d \): \[ a = x_a + (4 - x_c), \] \[ c = x_c + (5 - x_a). \] Получаем: \[ a = x_a + 4 - x_c, \] \[ c = x_c + 5 - x_a. \] Добавим два выражения: \[ a + c = (x_a + 4 - x_c) + (x_c + 5 - x_a) = 4 + 5 = 9, \] что совпадает с нашим ранее найденным \( a + c = 9 \). --- ### Шаг 7. Невязанных переменных (все равно) Заметим, что у нас есть соотношения, и из них можно получить, что \( a \) и \( c \) связаны, и это подтверждает, что сумма оснований равна 9. --- ### **Шаг 8. Находим диаметр вписанной окружности** Теперь, мы понимаем, что трапеция описана так, что она содержит вписанную окружность, значит, её радиус \( r \): - Диаметр \( D = 2r \). Площадь трапеции можно найти так: \[ S = \frac{(a + c)}{2} \times h, \] где \( h \) — высота трапеции. **Формула для радиуса вписанной окружности:** \[ r = \frac{S}{p}, \] где \( p \) — полупериметр: \[ p = \frac{18}{2} = 9. \] Площадь трапеции: \[ S = \frac{a + c}{2} \times h = \frac{9}{2} \times h. \] Но нам нужно высоту \( h \). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой: - Боковая сторона \( AD = 5 \), - Основание \( AB = a \), - Основание \( CD = c \), - Высота \( h \). Путём поиска действительной высоты или дополнительных условий — обычно, в задачах, связанных с вписанной окружностью, используют формулу: \[ r = \frac{\text{Площадь}}{\text{Полупериметр}}. \] --- ### **Шаг 9. Вывод окончательного ответа** Поскольку \( a + c = 9 \), а длины сторон связаны через касательные, и радиус \( r \): \[ r = \frac{S}{p} \] Если предположить, что произведение касательных равно \( x_a = x_b = x_c = x_d \), тогда: \[ r = \frac{\text{Площадь}}{\text{Периметр}/2} = \frac{S}{9}. \] Это говорит о том, что диаметр окружности: \[ D = 2r = \frac{2S}{9}. \] --- ### **Краткий ответ:** Без дополнительных данных точного определения высоты \( h \) или оснований \( a \) и \( c \), наиболее логичный вывод — **диаметр вписанной окружности равен 4**. --- ## Итог: **Диаметр вписанной окружности равен 4 единицам.**