Давайте внимательно распишем задачу и найдём решение шаг за шагом.
Шаг 1: Обозначения и условия задачи
Пусть:
- ( x ) — количество литров воды, пропускаемое в минуту второй трубой.
- Тогда первая труба пропускает ( x - 3 ) литров в минуту (на 3 литра меньше).
Дополнительные условия:
- Резервуар объемом 170 литров заполняется второй трубой за некоторое время.
- Резервуар объемом 210 литров — первой трубой.
- Время заполнения резервуара первой трубой на 5 минут больше времени, чем второй трубой.
Обозначим:
- Время заполнения резервуара объемом 170 литров второй трубой: ( t_{170} ).
- Время заполнения резервуара объемом 210 литров первой трубой: ( t_{210} ).
Шаг 2: Заполнение резервуаров
Время заполнения равно объему, деленному на скорость подачи воды:
[
t_{170} = \frac{170}{x}
]
[
t_{210} = \frac{210}{x - 3}
]
По условию:
[
t_{210} = t_{170} + 5
]
Подставим выражения:
[
\frac{210}{x - 3} = \frac{170}{x} + 5
]
Шаг 3: Решение уравнения
Перепишем уравнение:
[
\frac{210}{x - 3} - \frac{170}{x} = 5
]
Найдем общий знаменатель и преобразуем левую часть в одну дробь:
[
\frac{210x - 170(x - 3)}{x(x - 3)} = 5
]
Раскроем числитель:
[
210x - 170x + 510 = (210x - 170x) + 510 = 40x + 510
]
Итак:
[
\frac{40x + 510}{x(x - 3)} = 5
]
Умножим обе стороны уравнения на знаменатель:
[
40x + 510 = 5 \times x(x - 3)
]
Раскроем правую сторону:
[
40x + 510 = 5 (x^2 - 3x)
]
[
40x + 510 = 5x^2 - 15x
]
Перенесем все в левую сторону уравнения:
[
5x^2 - 15x - 40x - 510 = 0
]
Объединим подобные члены:
[
5x^2 - 55x - 510 = 0
]
Разделим всё уравнение на 5 для упрощения:
[
x^2 - 11x - 102 = 0
]
Шаг 4: Решение квадратичного уравнения
Решим уравнение:
[
x^2 - 11x - 102 = 0
]
Дискриминант:
[
D = (-11)^2 - 4 \times 1 \times (-102) = 121 + 408 = 529
]
Корни:
[
x = \frac{11 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{11 \pm 23}{2}
]
Варианты:
- ( x = \frac{11 + 23}{2} = \frac{34}{2} = 17 )
- ( x = \frac{11 - 23}{2} = \frac{-12}{2} = -6 )
Поскольку количество литров воды не может быть отрицательным, отклоняем ( x = -6 ).
Ответ:
[
\boxed{
x = 17
}
]
Это — количество литров воды, пропускаемое второй трубой в минуту.
Значит, первая труба пропускает:
[
x - 3 = 17 - 3 = 14 \text{ литров в минуту}.
]
Если нужно, я могу подробнее объяснить каждый шаг или помочь вам с другими задачами!
