Докажите что выражение 8 в пятой степени+ 2 в 13 степени делится на 10

Давайте докажем, что выражение \(8^5 + 2^{13}\) делится на 10. Для этого необходимо проверить, делится ли это число на 10, то есть делится ли оно одновременно на 2 и на 5. ## Шаг 1: Проверим делимость на 2 - \(8^5\): так как 8 — чётное число, возводя его в любую степень, получим чётное число. Значит, \(8^5\) — чётное. - \(2^{13}\): тоже чётное число. Следовательно, сумма двух чётных чисел: \[ 8^5 + 2^{13} \] будет чётной, и, следовательно, делится на 2. ## Шаг 2: Проверим делимость на 5 Рассмотрим каждый слагаемый по модулю 5. ### \(8^5 \pmod{5}\) Обратите внимание, что \(8 \equiv 3 \pmod{5}\), потому что \(8 - 5 = 3\). Значит, \[ 8^5 \equiv 3^5 \pmod{5} \] Рассчитаем \(3^5 \pmod{5}\): - \(3^1 \equiv 3 \pmod{5}\) - \(3^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}\) - \(3^3 \equiv 3^2 \times 3 \equiv 4 \times 3 = 12 \equiv 2 \pmod{5}\) - \(3^4 \equiv 3^3 \times 3 \equiv 2 \times 3 = 6 \equiv 1 \pmod{5}\) - \(3^5 \equiv 3^4 \times 3 \equiv 1 \times 3 = 3 \pmod{5}\) Итак, \[ 8^5 \equiv 3^5 \equiv 3 \pmod{5} \] ### \(2^{13} \pmod{5}\) Рассмотрим степень 2 по модулю 5: - \(2^1 \equiv 2 \pmod{5}\) - \(2^2 \equiv 4 \pmod{5}\) - \(2^3 \equiv 8 \equiv 3 \pmod{5}\) - \(2^4 \equiv 2^3 \times 2 \equiv 3 \times 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5}\) Обратите внимание, что степень 2 повторяет цикл с периодом 4: \[ 2^{4k} \equiv 1 \pmod{5} \] Теперь \(2^{13} = 2^{4 \times 3 + 1} = (2^4)^3 \times 2^1 \equiv 1^3 \times 2 \equiv 2 \pmod{5}\). ## Шаг 3: Сложим результаты \[ 8^5 + 2^{13} \equiv 3 + 2 \equiv 5 \equiv 0 \pmod{5} \] Это означает, что сумма делится на 5. ## Шаг 4: Итог - Мы выяснили, что сумма делится на 2 (так как оба слагаемых чётные). - И что сумма делится на 5. Следовательно, сумма делится и на 10. ## Ответ: \[ \boxed{ 8^5 + 2^{13} \text{ делится на } 10 } \] Если нужно, я могу помочь с более подробными объяснениями или другими задачами!