Докажите что выражение 8 в пятой степени+ 2 в 13 степени делится на 10
Давайте докажем, что выражение \(8^5 + 2^{13}\) делится на 10. Для этого необходимо проверить, делится ли это число на 10, то есть делится ли оно одновременно на 2 и на 5.
Шаг 1: Проверим делимость на 2
- \(8^5\): так как 8 — чётное число, возводя его в любую степень, получим чётное число. Значит, \(8^5\) — чётное.
- \(2^{13}\): тоже чётное число.
Следовательно, сумма двух чётных чисел:
\[ 8^5 + 2^{13} \]
будет чётной, и, следовательно, делится на 2.
Шаг 2: Проверим делимость на 5
Рассмотрим каждый слагаемый по модулю 5.
\(8^5 \pmod{5}\)
Обратите внимание, что \(8 \equiv 3 \pmod{5}\), потому что \(8 - 5 = 3\).
Значит,
\[ 8^5 \equiv 3^5 \pmod{5} \]
Рассчитаем \(3^5 \pmod{5}\):
- \(3^1 \equiv 3 \pmod{5}\)
- \(3^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}\)
- \(3^3 \equiv 3^2 \times 3 \equiv 4 \times 3 = 12 \equiv 2 \pmod{5}\)
- \(3^4 \equiv 3^3 \times 3 \equiv 2 \times 3 = 6 \equiv 1 \pmod{5}\)
- \(3^5 \equiv 3^4 \times 3 \equiv 1 \times 3 = 3 \pmod{5}\)
Итак,
\[ 8^5 \equiv 3^5 \equiv 3 \pmod{5} \]
\(2^{13} \pmod{5}\)
Рассмотрим степень 2 по модулю 5:
- \(2^1 \equiv 2 \pmod{5}\)
- \(2^2 \equiv 4 \pmod{5}\)
- \(2^3 \equiv 8 \equiv 3 \pmod{5}\)
- \(2^4 \equiv 2^3 \times 2 \equiv 3 \times 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5}\)
Обратите внимание, что степень 2 повторяет цикл с периодом 4:
\[ 2^{4k} \equiv 1 \pmod{5} \]
Теперь \(2^{13} = 2^{4 \times 3 + 1} = (2^4)^3 \times 2^1 \equiv 1^3 \times 2 \equiv 2 \pmod{5}\).
Шаг 3: Сложим результаты
\[ 8^5 + 2^{13} \equiv 3 + 2 \equiv 5 \equiv 0 \pmod{5} \]
Это означает, что сумма делится на 5.
Шаг 4: Итог
- Мы выяснили, что сумма делится на 2 (так как оба слагаемых чётные).
- И что сумма делится на 5.
Следовательно, сумма делится и на 10.
Ответ:
\[ \boxed{ 8^5 + 2^{13} \text{ делится на } 10 } \]
Если нужно, я могу помочь с более подробными объяснениями или другими задачами!
