64x² + 160x + 100=(10x - 64)² пошагово реши уравнение
Давайте решим уравнение:
\[ 64x^2 + 160x + 100 = (10x - 64)^2 \]
Шаг 1: Раскроем правую часть уравнения
По формуле квадрата бинома \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\):
\[ (10x - 64)^2 = (10x)^2 - 2 \times 10x \times 64 + 64^2 \]
Вычислим каждое слагаемое:
\[ (10x)^2 = 100x^2 \] \[ -2 \times 10x \times 64 = -1280x \] \[ 64^2 = 4096 \]
Значит, правая часть уравнения = \[ 100x^2 - 1280x + 4096 \]
Шаг 2: Запишем уравнение полностью
\[ 64x^2 + 160x + 100 = 100x^2 - 1280x + 4096 \]
Шаг 3: Перенесем всё в одну сторону для получения уравнения равного нулю
Вычитим правую часть из левой:
\[ 64x^2 + 160x + 100 - (100x^2 - 1280x + 4096) = 0 \]
Раскроем скобки и упростим:
\[ 64x^2 + 160x + 100 - 100x^2 + 1280x - 4096 = 0 \]
Объединим подобные члены:
- Коэффициенты при \(x^2\):
\[ 64x^2 - 100x^2 = -36x^2 \]
- Коэффициенты при \(x\):
\[ 160x + 1280x = 1440x \]
- Свободные члены:
\[ 100 - 4096 = -3996 \]
Общее уравнение:
\[ -36x^2 + 1440x - 3996 = 0 \]
Можно поделить всё уравнение на -12 для упрощения:
\[ \frac{-36x^2}{-12} + \frac{1440x}{-12} + \frac{-3996}{-12} = 0 \]
Получим:
\[ 3x^2 - 120x + 333 = 0 \]
Шаг 4: Решение квадратичного уравнения
Используем формулу квадратичных решений:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a=3\), \(b=-120\), \(c=333\).
Подставим значения:
\[ x = \frac{-(-120) \pm \sqrt{(-120)^2 - 4 \times 3 \times 333}}{2 \times 3} \] \[ x = \frac{120 \pm \sqrt{14400 - 3996}}{6} \]
Вычислим подкоренное выражение:
\[ 14400 - 3996 = 10404 \]
Вычислим корень из 10404:
\[ \sqrt{10404} = 102 \]
Подставим обратно:
\[ x = \frac{120 \pm 102}{6} \]
Теперь найдём оба решения:
- При плюсе:
\[ x = \frac{120 + 102}{6} = \frac{222}{6} = 37 \]
- При минусе:
\[ x = \frac{120 - 102}{6} = \frac{18}{6} = 3 \]
Ответ:
\[
x = 3 \quad \text{или} \quad x = 37
\]
Если есть еще вопросы или нужно более подробно — скажите!
