контрольная решить

Конечно, я помогу вам решить вашу контрольную работу по математике. Вот подробные решения каждого задания:

---

№1. Выберите формулу, по которой можно вычислить сумму первых членов арифметической прогрессии (aₙ):

Правильный ответ: a) \( S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \)

Обоснование:
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:
\[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \]
или через разность \( d \):
\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]
Подставляя, получим:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + d(n-1)) \]

---

№2. Последовательность \( (x_n) \) задана формулой \( x_n = n^2 \). Выберите правильное равенство:

Правильный ответ: в) \( x_5 = 25 \)

Обоснование:
Подставляем \( n=5 \):
\[ x_5 = 5^2 = 25 \]

---

№3. Найдите четвертый член геометрической прогрессии \( (b_n) \): \( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \dots \)

Обозначения: первый член \( b_1 = 1 \),
знаменатель геометрической прогрессии \( q = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2} \).

Четвертый член:
\[ b_4 = b_1 \times q^{3} = 1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \]

---

№4. Первый член арифметической прогрессии равен 5, второй — 9. Найдите четвертый член прогрессии.

Обозначим:
\[ a_1 = 5 \], \( a_2 = 9 \).
Разность:
\[ d = a_2 - a_1 = 9 - 5 = 4 \]

Четвертый член:
\[ a_4 = a_1 + 3d = 5 + 3 \times 4 = 5 + 12 = 17 \]

---

№5. В арифметической прогрессии \( (a_n) \), известно, что \( a_1 = 1 \), \( S_2 = 276 \). Найдите \( a_{12} \).

Обоснование:
Сумма первых двух членов:
\[ S_2 = a_1 + a_2 = 276 \]
Но знать \( a_1 = 1 \), значит:
\[ 1 + a_2 = 276 \Rightarrow a_2 = 275 \]

Значит, разность:
\[ d = a_2 - a_1 = 275 - 1 = 274 \]

Член \( a_{12} \):
\[ a_{12} = a_1 + 11d = 1 + 11 \times 274 = 1 + 3014 = 3015 \]

---

№6. Продавец цветов проанализировал, что за 5 дней до праздника он продал 32 букета, а число проданных букетов за эти 5 дней увеличивается каждый день в 1,5 раза. Сколько всего букетов продал продавец за пять предпраздничных дней?

Обозначим:
число букетов в первый день: \( a_1 \),
увеличение в 1,5 раза ежедневно:
\[ a_n = a_1 \times 1.5^{n-1} \]

Общее количество:
\[ S_5 = a_1 + a_1 \times 1.5 + a_1 \times 1.5^2 + a_1 \times 1.5^3 + a_1 \times 1.5^4 \]

Исходя из условия, сумма равна 32:
\[ S_5 = a_1 \times \frac{1.5^5 - 1}{1.5 - 1} = 32 \]

Рассчитаем:
\[ 1.5^5 = 7.59375 \] \[ \Rightarrow S_5 = a_1 \times \frac{7.59375 - 1}{0.5} = a_1 \times \frac{6.59375}{0.5} = a_1 \times 13.1875 \]

Значит,
\[ a_1 \times 13.1875 = 32 \Rightarrow a_1 = \frac{32}{13.1875} \approx 2.43 \]

Общее количество за все 5 дней:
\[ S_5 = 32 \] (уже известно)

Ответ: за пять дней продано 32 букета.

---

№7. Представьте число 0,228 в виде обыкновенной дроби.

Обоснование:
Число 0,228 — это:
\[ 0,228 = \frac{228}{1000} \]

Упростим дробь:
228 и 1000 делятся на 4:
\[ \frac{228 \div 4}{1000 \div 4} = \frac{57}{250} \]

Ответ:
\[ \boxed{\frac{57}{250}} \]

---

№8. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии \( (b_n) \), если известно, что \( b_3 = 5 \), \( b_6 = 625 \).

Обозначения:
\[ b_3 = b_1 \times q^{2} = 5 \]
\[ b_6 = b_1 \times q^{5} = 625 \]

Делим уравнения:
\[ \frac{b_6}{b_3} = \frac{b_1 q^5}{b_1 q^2} = q^{3} = \frac{625}{5} = 125 \]

Значит:
\[ q^3 = 125 \Rightarrow q = \sqrt[3]{125} = 5 \]

Теперь находим \( b_1 \):
\[ b_3 = b_1 \times 5^{2} = 5 \Rightarrow b_1 \times 25 = 5 \Rightarrow b_1 = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \]

Сумма первых 6 членов:
\[ S_6 = b_1 \times \frac{q^{6} - 1}{q - 1} \]

Подставляем:
\[ S_6 = \frac{1}{5} \times \frac{5^{6} - 1}{5 - 1} = \frac{1}{5} \times \frac{15625 - 1}{4} = \frac{1}{5} \times \frac{15624}{4} = \frac{1}{5} \times 3906. \]

Ответ:
\[ S_6 = \frac{3906}{5} = 781.2 \]

---

№9. Первый член арифметической прогрессии равен 12, а разность равна 2. Сколько первых членов нужно сложить, чтобы сумма была равна 264?

Обозначения:
\[ a_1=12 \], \( d=2 \).
Ищем \( n \): сумма \( S_n = 264 \):

\[ S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) \]

Подставим:
\[ 264 = \frac{n}{2}(2 \times 12 + (n-1) \times 2) \] \[ 264 = \frac{n}{2}(24 + 2n - 2) \] \[ 264 = \frac{n}{2}(2n + 22) \] \[ 264 = n(n + 11) \] \[ n^2 + 11n - 264 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:
\[ n = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \times 1 \times (-264)}}{2} \]

Вычисляем дискриминант:
\[ D = 121 + 1056 = 1177 \]

Дискриминант не является perfect квадратом, что означает, что решений в натуральных числах нет. Вполне вероятно, что нужно проверить целые числа:

Пробуем \( n = 12 \):
\[ S_{12} = \frac{12}{2}(24 + 11) = 6 \times 35 = 210 \] Меньше 264.
\( n=13 \):
[ S_{13} = \frac{13