Контрольная решить

Конечно, я помогу вам решить вашу контрольную работу по математике. Вот подробные решения каждого задания: --- ### №1. Выберите формулу, по которой можно вычислить сумму первых членов арифметической прогрессии (aₙ): Правильный ответ: **a)** \( S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \) Обоснование: Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \] или через разность \( d \): \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] Подставляя, получим: \[ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + d(n-1)) \] --- ### №2. Последовательность \( (x_n) \) задана формулой \( x_n = n^2 \). Выберите правильное равенство: Правильный ответ: **в)** \( x_5 = 25 \) Обоснование: Подставляем \( n=5 \): \[ x_5 = 5^2 = 25 \] --- ### №3. Найдите четвертый член геометрической прогрессии \( (b_n) \): \( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \dots \) Обозначения: первый член \( b_1 = 1 \), знаменатель геометрической прогрессии \( q = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2} \). Четвертый член: \[ b_4 = b_1 \times q^{3} = 1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \] --- ### №4. Первый член арифметической прогрессии равен 5, второй — 9. Найдите четвертый член прогрессии. Обозначим: \[ a_1 = 5 \], \( a_2 = 9 \). Разность: \[ d = a_2 - a_1 = 9 - 5 = 4 \] Четвертый член: \[ a_4 = a_1 + 3d = 5 + 3 \times 4 = 5 + 12 = 17 \] --- ### №5. В арифметической прогрессии \( (a_n) \), известно, что \( a_1 = 1 \), \( S_2 = 276 \). Найдите \( a_{12} \). Обоснование: Сумма первых двух членов: \[ S_2 = a_1 + a_2 = 276 \] Но знать \( a_1 = 1 \), значит: \[ 1 + a_2 = 276 \Rightarrow a_2 = 275 \] Значит, разность: \[ d = a_2 - a_1 = 275 - 1 = 274 \] Член \( a_{12} \): \[ a_{12} = a_1 + 11d = 1 + 11 \times 274 = 1 + 3014 = 3015 \] --- ### №6. Продавец цветов проанализировал, что за 5 дней до праздника он продал 32 букета, а число проданных букетов за эти 5 дней увеличивается каждый день в 1,5 раза. Сколько всего букетов продал продавец за пять предпраздничных дней? Обозначим: число букетов в первый день: \( a_1 \), увеличение в 1,5 раза ежедневно: \[ a_n = a_1 \times 1.5^{n-1} \] Общее количество: \[ S_5 = a_1 + a_1 \times 1.5 + a_1 \times 1.5^2 + a_1 \times 1.5^3 + a_1 \times 1.5^4 \] Исходя из условия, сумма равна 32: \[ S_5 = a_1 \times \frac{1.5^5 - 1}{1.5 - 1} = 32 \] Рассчитаем: \[ 1.5^5 = 7.59375 \] \[ \Rightarrow S_5 = a_1 \times \frac{7.59375 - 1}{0.5} = a_1 \times \frac{6.59375}{0.5} = a_1 \times 13.1875 \] Значит, \[ a_1 \times 13.1875 = 32 \Rightarrow a_1 = \frac{32}{13.1875} \approx 2.43 \] Общее количество за все 5 дней: \[ S_5 = 32 \] (уже известно) Ответ: за пять дней продано **32 букета**. --- ### №7. Представьте число 0,228 в виде обыкновенной дроби. Обоснование: Число 0,228 — это: \[ 0,228 = \frac{228}{1000} \] Упростим дробь: 228 и 1000 делятся на 4: \[ \frac{228 \div 4}{1000 \div 4} = \frac{57}{250} \] Ответ: \[ \boxed{\frac{57}{250}} \] --- ### №8. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии \( (b_n) \), если известно, что \( b_3 = 5 \), \( b_6 = 625 \). Обозначения: \[ b_3 = b_1 \times q^{2} = 5 \] \[ b_6 = b_1 \times q^{5} = 625 \] Делим уравнения: \[ \frac{b_6}{b_3} = \frac{b_1 q^5}{b_1 q^2} = q^{3} = \frac{625}{5} = 125 \] Значит: \[ q^3 = 125 \Rightarrow q = \sqrt[3]{125} = 5 \] Теперь находим \( b_1 \): \[ b_3 = b_1 \times 5^{2} = 5 \Rightarrow b_1 \times 25 = 5 \Rightarrow b_1 = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \] Сумма первых 6 членов: \[ S_6 = b_1 \times \frac{q^{6} - 1}{q - 1} \] Подставляем: \[ S_6 = \frac{1}{5} \times \frac{5^{6} - 1}{5 - 1} = \frac{1}{5} \times \frac{15625 - 1}{4} = \frac{1}{5} \times \frac{15624}{4} = \frac{1}{5} \times 3906. \] Ответ: \[ S_6 = \frac{3906}{5} = 781.2 \] --- ### №9. Первый член арифметической прогрессии равен 12, а разность равна 2. Сколько первых членов нужно сложить, чтобы сумма была равна 264? Обозначения: \[ a_1=12 \], \( d=2 \). Ищем \( n \): сумма \( S_n = 264 \): \[ S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) \] Подставим: \[ 264 = \frac{n}{2}(2 \times 12 + (n-1) \times 2) \] \[ 264 = \frac{n}{2}(24 + 2n - 2) \] \[ 264 = \frac{n}{2}(2n + 22) \] \[ 264 = n(n + 11) \] \[ n^2 + 11n - 264 = 0 \] Решаем квадратное уравнение: \[ n = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \times 1 \times (-264)}}{2} \] Вычисляем дискриминант: \[ D = 121 + 1056 = 1177 \] Дискриминант не является perfect квадратом, что означает, что решений в натуральных числах нет. Вполне вероятно, что нужно проверить целые числа: Пробуем \( n = 12 \): \[ S_{12} = \frac{12}{2}(24 + 11) = 6 \times 35 = 210 \] Меньше 264. \( n=13 \): \[ S_{13} = \frac{13