Давайте разберем задачу пошагово.
Дано:
- Есть круг радиуса ( R = \frac{3 \sqrt{2}}{2} ).
- В этот круг вписан равнобедренный прямоугольный треугольник.
- Точка ставится “наудачу” внутри круга (то есть случайно выбирается точка внутри круга с равномерной вероятностью).
Требуется найти вероятность того, что выбранная точка попадет в треугольник.
Шаг 1. Определим радиус круга, округлим (\pi) до целых
Радиус:
[
R = \frac{3 \sqrt{2}}{2}
]
Поскольку (\sqrt{2} \approx 1{,}414),
[
R \approx \frac{3 \times 1{,}414}{2} = \frac{4{,}242}{2} = 2{,}121
]
(\pi) — примерно 3, округляем до 3.
Шаг 2. Найти площадь круга
Площадь круга:
[
S_{\text{круг}} = \pi R^2 \approx 3 \times (2{,}121)^2
]
Вычислим (R^2):
[
(2{,}121)^2 \approx 2{,}121 \times 2{,}121
]
Это примерно:
[
2{,}121 \times 2{,}121 \approx 4{,}5 \times 10^6
]
Более точно: (2{,}121^2 = 4.5 \text{ (приблизительно)})
Следовательно:
[
S_{\text{круг}} \approx 3 \times 4{,}5 = 13,5
]
Шаг 3. Рассмотрим треугольник внутри круга
Из условия: треугольник — равнобедренный прямоугольный и вписан в круг.
Ключевое:
- Вписанный в круг прямоугольный треугольник — его гипотенуза равна диаметру круга.
Следовательно, гипотенуза треугольника равна:
[
d = 2 R \approx 2 \times 2{,}121 = 4{,}242
]
Так как треугольник равнобедрен и прямой, то его катеты равны.
Обозначим катет как (a).
По теореме Пифагора:
[
a^2 + a^2 = d^2 \Rightarrow 2a^2 = d^2
]
[
a^2 = \frac{d^2}{2}
]
Посчитаем (a):
[
a = \sqrt{\frac{d^2}{2}} = \frac{d}{\sqrt{2}} \approx \frac{4,242}{\sqrt{2}} \approx \frac{4,242}{1,414} \approx 3
]
Шаг 4. Найти площадь треугольника
Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника:
[
S_{\triangle} = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2}
]
Подставим (a^2 \approx 9):
[
S_{\triangle} \approx \frac{9}{2} = 4.5
]
Шаг 5. Найти вероятность
Вероятность попадания точки в треугольник — это отношение его площади к площади круга:
[
P = \frac{S_{\triangle}}{S_{\text{круг}}} \approx \frac{4.5}{13.5} = \frac{1}{3} \approx 0,333
]
Ответ:
Вероятность того, что случайно выбранная точка внутри круга попадет в треугольник, примерно равна (\boxed{\frac{1}{3}}) или около 33% (исходя из округления).
Если нужно, я могу оформить ответ более кратко или с пояснениями.
