Точка H является основанием высоты NH, проведённой из вершины прямого угла N прямоугольного треугольника MNK. Окружность с диаметром NH пересекает стороны NK и NM в точках E и F соответственно. Найди EF, если NH=14.

Давайте подробно разберем задачу, включающую план и ключевые идеи для решения. ### Дано: - Треугольник \( MNK \) прямоугольный с прямым углом в точке \( N \). - \( H \) — основание высоты, опущенной из точки \( N \) на гипотенузу \( MK \). - \( NH \) — длина высоты \( NH = 14 \). - Окружность с диаметром \( NH \) пересекает \( NK \) и \( NM \) в точках \( E \) и \( F \), соответственно. - Требуется найти длину отрезка \( EF \). --- ### Шаг 1: Обозначения и построение Обозначим: - \( N \) — вершина прямого угла, его \( \angle N = 90^\circ \). - \( H \) — точка на гипотенузе \( MK \), такая, что \( NH \perp MK \). - Проведем высоту \( NH \), опустив её из \( N \) на \( MK \). Так как \( H \) — основание высоты, она является точкой пересечения высоты \( N \) с гипотенузой \( MK \). Следовательно: - \( H \) лежит на \( MK \). - \( \angle NH \) — прямой (перпендикуляр). --- ### Шаг 2: Свойства прямоугольного треугольника В прямоугольном треугольнике \( MNK \) с прямым углом в \( N \): - Гипотенуза \( MK \). - Высота \( NH \) делит гипотенузу \( MK \) на два отрезка. Обозначим: - \( NH = 14 \). Кроме того, в прямоугольном треугольнике выполнение известных свойств: - \( N \) — вершина прямого угла. - Высота, проведенная из \( N \) к \( MK \), разбивает гипотенузу \( MK \) на два отрезка, соответствующие произведения: \[ MH \times HK = NH^2 = 14^2 = 196. \] --- ### Шаг 3: Радиус окружности и точки пересечения У окружности диаметр \( NH \): - Радиус \( R = \frac{NH}{2} = 7 \). Рассмотрим свойства окружности с диаметром \( NH \): - Центр окружности — середина \( NH \). - Эта окружность будет иметь радиус \( 7 \). Параллельно, эта окружность пересекает стороны \( NM \) и \( NK \) в точках \( F \) и \( E \). --- ### Шаг 4: Связь с точками \( E \) и \( F \) Точки \( E \) и \( F \) лежат на сторонах \( NK \) и \( NM \) соответственно, потому что они пересекают их окружностью с диаметром \( NH \). - Поскольку \( E \) и \( F \) лежат на сторонах, а окружность с диаметром \( NH \) пересекает их, то: - \( E \in NK \), - \( F \in NM \), - и они лежат на окружности радиуса 7 с центром в середине \( NH \). --- ### Шаг 5: Анализ геометрии для определения \( EF \) За счет симметрии и свойства окружности с диаметром \( NH \), отрезок \( EF \) — это хорда окружности, которые пересекают стороны \( NM \) и \( NK \). Так как радиус окружности равен \( 7 \), и центр окружности — середина \( NH \), то: - \( EF \) — хорда, проходящая внутри треугольника \( MNK \), касающаяся обеих сторон. Поскольку \( NH \) — длина высоты и равна 14, то: - Радиус окружности равен половине этой длины (7), - А точки \( E \) и \( F \) — точки касания окружности с сторонами. В таком случае, **длина хорды, соединяющей точки пересечения окружности с сторонами треугольника, равна длине диаметра окружности**. ### Итоговая формула: \( EF = NH = 14 \). --- ### Ответ: **Ответ: \( \boxed{14} \).** --- Если вам нужны дополнительные пояснения или доказательства, я готов помочь!