Точка H является основанием высоты NH , проведённой из вершины прямого угла N прямоугольного треугольника MNK . Окружность с диаметром NH пересекает стороны NK и NM в точках E и F…

Давайте подробно разберем задачу, включающую план и ключевые идеи для решения.

Дано:

• Треугольник \( MNK \) прямоугольный с прямым углом в точке \( N \).
• \( H \) — основание высоты, опущенной из точки \( N \) на гипотенузу \( MK \).
• \( NH \) — длина высоты \( NH = 14 \).
• Окружность с диаметром \( NH \) пересекает \( NK \) и \( NM \) в точках \( E \) и \( F \), соответственно.
• Требуется найти длину отрезка \( EF \).

---

Шаг 1: Обозначения и построение

Обозначим:

• \( N \) — вершина прямого угла, его \( \angle N = 90^\circ \).
• \( H \) — точка на гипотенузе \( MK \), такая, что \( NH \perp MK \).
• Проведем высоту \( NH \), опустив её из \( N \) на \( MK \).

Так как \( H \) — основание высоты, она является точкой пересечения высоты \( N \) с гипотенузой \( MK \). Следовательно:

• \( H \) лежит на \( MK \).
• \( \angle NH \) — прямой (перпендикуляр).

---

Шаг 2: Свойства прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике \( MNK \) с прямым углом в \( N \):

• Гипотенуза \( MK \).
• Высота \( NH \) делит гипотенузу \( MK \) на два отрезка. Обозначим:
  • \( NH = 14 \).

Кроме того, в прямоугольном треугольнике выполнение известных свойств:

• \( N \) — вершина прямого угла.
• Высота, проведенная из \( N \) к \( MK \), разбивает гипотенузу \( MK \) на два отрезка, соответствующие произведения: \[ MH \times HK = NH^2 = 14^2 = 196. \]

---

Шаг 3: Радиус окружности и точки пересечения

У окружности диаметр \( NH \):

• Радиус \( R = \frac{NH}{2} = 7 \).

Рассмотрим свойства окружности с диаметром \( NH \):

• Центр окружности — середина \( NH \).
• Эта окружность будет иметь радиус \( 7 \).

Параллельно, эта окружность пересекает стороны \( NM \) и \( NK \) в точках \( F \) и \( E \).

---

Шаг 4: Связь с точками \( E \) и \( F \)

Точки \( E \) и \( F \) лежат на сторонах \( NK \) и \( NM \) соответственно, потому что они пересекают их окружностью с диаметром \( NH \).

• Поскольку \( E \) и \( F \) лежат на сторонах, а окружность с диаметром \( NH \) пересекает их, то:
  • \( E \in NK \),
  • \( F \in NM \),
  • и они лежат на окружности радиуса 7 с центром в середине \( NH \).

---

Шаг 5: Анализ геометрии для определения \( EF \)

За счет симметрии и свойства окружности с диаметром \( NH \), отрезок \( EF \) — это хорда окружности, которые пересекают стороны \( NM \) и \( NK \).

Так как радиус окружности равен \( 7 \), и центр окружности — середина \( NH \), то:

• \( EF \) — хорда, проходящая внутри треугольника \( MNK \), касающаяся обеих сторон.

Поскольку \( NH \) — длина высоты и равна 14, то:

• Радиус окружности равен половине этой длины (7),
• А точки \( E \) и \( F \) — точки касания окружности с сторонами.

В таком случае, длина хорды, соединяющей точки пересечения окружности с сторонами треугольника, равна длине диаметра окружности.

Итоговая формула:

\( EF = NH = 14 \).

---

Ответ:

Ответ: \( \boxed{14} \).

---

Если вам нужны дополнительные пояснения или доказательства, я готов помочь!