Число А даёт остаток 4 от деления на 9. Какой остаток от деления на 9 даёт число В=А^2+(А+3)^2

Давайте разберемся с задачей по шагам.

Условие задачи:

• Число \( A \) даёт остаток 4 при делении на 9, то есть: \[ A \equiv 4 \pmod{9} \]
• Нужно найти остаток от деления числа \( B = A^2 + (A+3)^2 \) на 9.

Шаг 1: Выразим \( A \) через остаток

Так как \( A \equiv 4 \pmod{9} \), то при делении на 9: \[ A \equiv 4 \]

Шаг 2: Расчёт \( A^2 \)

\[ A^2 \equiv 4^2 \equiv 16 \pmod{9} \]

Далее, найдём остаток при делении 16 на 9: \[ 16 \div 9 = 1 \text{ с остатком } 7 \] поэтому: \[ A^2 \equiv 7 \pmod{9} \]

Шаг 3: Расчёт \( (A + 3)^2 \)

Сначала найдём \((A+3) \) по модулю 9: \[ A + 3 \equiv 4 + 3 \equiv 7 \pmod{9} \]

Теперь возьмём квадрат: \[ (A + 3)^2 \equiv 7^2 \equiv 49 \pmod{9} \]

Разделим 49 на 9: \[ 49 \div 9 = 5 \text{ с остатком } 4 \] то есть: \[ (A + 3)^2 \equiv 4 \pmod{9} \]

Шаг 4: Найти сумму

Теперь сложим полученные остатки: \[ B \equiv A^2 + (A + 3)^2 \equiv 7 + 4 \equiv 11 \pmod{9} \]

И, наконец, найдём остаток при делении 11 на 9: \[ 11 \div 9 = 1 \text{ с остатком } 2 \]

Ответ:

\[ \boxed{2} \]

Остаток от деления числа \( B \) на 9 равен 2.