Точка М – середина хорды ВС, О – центр окружности. Найдите ∠ВМO, если ∠BОС=146°

Давайте подробно решим задачу. **Дано:** - Точка М — середина хорды ВС. - О — центр окружности. - ∠БОС = 146°. Нужно найти **∠ВМO**. --- ### Шаг 1: Анализ данных и построение схемы - О — центр окружности. - ВС — хорда, М — её середина. - ∠BOC = 146°, где B и C — точки на окружности. Обозначим: - ∠BOC = 146°, это центральный угол, опирающийся на дугу BC. --- ### Шаг 2: Найдём дугу BC Центральный угол (∠BOC) равен дуге BC (в градусах). Поскольку ∠BOC = 146°, то дуга BC равна 146°. --- ### Шаг 3: Дуга BC и её свойства - Дуга BC = 146°. - Тогда дуга, противоположная BC, равна 360° - 146° = 214°. --- ### Шаг 4: Свойства средней точки M хорды - М — середина хорды ВС. - Вершина M делит хорду ВС пополам: пункт M — середина, значит, М — точка на хорде ВС между B и C так, что BМ = MC. --- ### Шаг 5: Свойство точки середины хорды - В окружности, точка М, являющаяся серединой хорды ВС, лежит на биссектрисе наклоненной к диаметру. - В частности, если М — середина ВС, то М — точка, при которой от центра О идёт радиус, и линия OM перпендикулярна хорде ВС (если хорда — не диаметр, то М — там, где линия, соединяющая центр О с М, является биссектрисой). Но в этом случае — М — середина хорды, и Ом соответствует радиусу, проведённому к середине хорды: они перпендикулярны хорде (так как биссектриса хорды в окружности — перпендикуляр к ней, проходящий через центр). ### Итог: - OM перпендикулярна хорде ВС. --- ### Шаг 6: Рассмотрим угол ∠BOM и ∠COM - Так как М — середина хорды ВС, и OM — перпендикуляр к хорде, то **ОМ — биссектриса** дуги BC, делящая её пополам: дугу BC на две равные части по 73° (так как дуга BC = 146°). --- ### Шаг 7: Найдём угол ∠BOM Обозначим: - ∠BOM — искомый угол, который нужен найти. Так как OM — перпендикуляр к хорде, и М — середина хорды, то: - Угол между радиусом OM и хорды ВС равен 90°, а потому: - ∠BOM = 90° - ∠МВА, где ∠МВА — половина дуги BC. Но, чтобы упростить, лучше использовать свойства центральных и вписанных углов. --- ### Шаг 8: Используем свойства вписанных и центральных уголов - Угол ∠БOC = 146°, поэтому **угол при любой точке на окружности, ограниченной дугой BC, равен половине соответствующего дуги**. - Радиус ОБ и ОC — равны (радиусы окружности). - Точка М — середина хорды ВС, и OM — перпендикуляр к хорде (внимание: М — середина хорды, а OM — медиа, перпендикулярная к хорде). --- ### Итоговая формула: Чтобы найти ∠BMO — рассмотрим треугольник BMO: - OM — перпендикуляр к хорде ВС (по свойствам медианы хорды). - ∠BOM — угол при центре окружности между радиусами OB и OM. --- ### Шаг 9: Расчет Поскольку: - ∠BOC = 146°, значит дуга BC = 146°. - М — середина хорды, и OM — биссектриса дуги BC, делящая её пополам. Таким образом, дуга BM = дуга MC = 73°. Угол ∠BOM равен половине дуги BCM (2 * ∠BOM = дуга BM), которая равна 73°. То есть: \[ \boxed{ \angle BMO = 90^\circ - \frac{1}{2} \times 73^\circ } \] Из-за свойств радиусов и биссектрисы: \[ \angle BMO = 90^\circ - 36.5^\circ = 53.5^\circ \] --- ### **Ответ:** \(\boxed{ \boxed{ \angle ВМО = 53.5^\circ } }\) --- Если нужны более точные значения или дополнительные объяснения, сообщите!