Реши все задачи
Конечно! Ниже я подробно решу все представленные задачи.
Показательные неравенства
1. \( 2^x \leq 8 \)
- \( 8 = 2^3 \)
- Значит, \( 2^x \leq 2^3 \)
- По свойству неравенства с показателями: \( x \leq 3 \)
Ответ: \( x \leq 3 \)
2. \( 5^{4x+2} \geq 125 \)
- \( 125 = 5^3 \)
- Тогда \( 5^{4x+2} \geq 5^3 \)
- Следовательно, \( 4x+2 \geq 3 \)
- Решим: \( 4x \geq 1 \Rightarrow x \geq \frac{1}{4} \)
Ответ: \( x \geq \frac{1}{4} \)
3. \(\left(\frac{1}{7}\right)^{3x+4} \cdot 7^{\frac{1}{7}} \leq \frac{1}{7}\)
Перепишем:
\[ \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+4} \cdot 7^{\frac{1}{7}} = 7^{-(3x+4)} \cdot 7^{\frac{1}{7}} = 7^{-\left(3x+4\right) + \frac{1}{7}} \]
И поскольку \( \frac{1}{7} \) очень мало по сравнению с \( 3x+4 \), запишем:
\[ 7^{-\left(3x+4\right) + \frac{1}{7}} \leq 7^{-1} \]
так как основание больше 1 и неравенство по экспоненте:
\[ -\left(3x+4\right) + \frac{1}{7} \leq -1 \]
Решим:
\[ -\left(3x+4\right) \leq -1 - \frac{1}{7} = -\frac{8}{7} \]
умножим на -1 (не забываем менять знак):
\[ 3x + 4 \geq \frac{8}{7} \]
\[ 3x \geq \frac{8}{7} - 4 = \frac{8}{7} - \frac{28}{7} = -\frac{20}{7} \]
\[ x \geq -\frac{20}{21} \]
Ответ: \( x \geq -\frac{20}{21} \)
4. \( 11^{2x+3x} \leq 121 \)
Объединим показатели:
\[ 11^{5x} \leq 121 \]
Но \( 121 = 11^2 \):
\[ 11^{5x} \leq 11^2 \]
Since основание больше 1:
\[ 5x \leq 2 \]
\[ x \leq \frac{2}{5} \]
Ответ: \( x \leq \frac{2}{5} \)
5. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{3x+4} + \left(\frac{1}{3}\right)^{3x+5} > 6\)
Запишем:
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{3x+4} + \left(\frac{1}{3}\right)^{3x+5} \]
Обозначим: \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^{3x+4} \)
Тогда:
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{3x+5} = \left(\frac{1}{3}\right)^{(3x+4)+1} = y \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{y}{3} \]
Чему равно сумма:
\[ y + \frac{y}{3} = y \left(1 + \frac{1}{3}\right) = y \cdot \frac{4}{3} \]
И условие:
\[ \frac{4}{3} y > 6 \Rightarrow y > \frac{6 \cdot 3}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5 \]
Вернемся к \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^{3x+4} \):
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{3x+4} > 4.5 \]
Поскольку \( \frac{1}{3} < 1 \), возводим обе части в натуральную степень, меняя знак не нужно, так как степени — отрицательные из-за основания меньше 1 (т.к. \( a^b \) — убывающая функция). Перепишем неравенство:
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{3x+4} > 4.5 \]
или:
\[ 3^{- (3x+4)} > 4.5 \]
Превратим:
\[ 3^{-(3x+4)} > 4.5 \]
Обратимся к логарифмам: поскольку основание — 3, положительное число, покажем:
\[ 3^{-(3x+4)} > 4.5 \]
Логарифм по основанию 3:
\[ -(3x+4) > \log_3 4.5 \]
\[ 3x + 4 < -\log_3 4.5 \]
Обозначим \( c = \log_3 4.5 \):
\[ 3x < -4 - c \]
\[ x < \frac{-4 - c}{3} \]
Рассчитаем \( c \):
\[ c = \log_3 4.5 \approx \frac{\ln 4.5}{\ln 3} \approx \frac{1.5041}{1.0986} \approx 1.37 \]
Следовательно:
\[ x < \frac{-4 - 1.37}{3} = \frac{-5.37}{3} \approx -1.79 \]
Ответ: \( x < -1.79 \) (около).
6. \( 3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x + 7 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x - 6 = 0 \)
Перепишем:
\[ 3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x + 7 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x = 6 \]
Обозначим:
\[ A = \left(\frac{2}{3}\right)^x \]
Тогда:
\[ \left(\frac{4}{9}\right)^x = \left(\frac{2^2}{3^2}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} = A^2 \]
Заменим:
\[ 3A^2 + 7A = 6 \]
Это квадратное уравнение:
\[ 3A^2 + 7A - 6 = 0 \]
Решаем его:
\[ A = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6)}}{2 \cdot 3} \]
\[ A = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 72}}{6} = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{6} = \frac{-7 \pm 11}{6} \]
Рассмотрим два варианта:
- \( A = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
- \( A = \frac{-7 - 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3 \)
Так как \( A = \left(\frac{2}{3}\right)^x > 0 \), то отрицательное значение \( -3 \) исключается.
Итак:
\[ \left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2}{3} \]
Решение:
\[ x = 1 \]
