Для того, чтобы остудить чай, температура которого была 100 °С, Маша добавила в него порцию холодной воды с температурой 10 °С. После установления теплового равновесия температура…
Для того, чтобы остудить чай, температура которого была 100 °С, Маша добавила в него порцию холодной воды с температурой 10 °С. После установления теплового равновесия температура воды в чашке составила 90 °С. Удельные теплоёмкости чая и воды одинаковы и равны с = 4200 Дж/(кг• °С). Потерями теплоты можно пренебречь. 1) Чему равно отношение количества теплоты, отданного чаем, к количеству теплоты, полученному водой. 2) Найдите отношение массы чая к массе долитой воды. 3) Так как чай всё ещё был слишком горячим, Маша добавила в него ещё одну точно такую же порцию холодной воды. Какой станет температура чая после установления нового теплового равновесия? Напишите полное решение этой задачи.
Давайте разберём задачу по шагам, чтобы понять и решить её полностью.
Дано:
- Начальная температура чая: \( T_{чая,нач} = 100^\circ C \)
- Температура воды, добавленной в первый раз: \( T_{воды,1} = 10^\circ C \)
- Температура после смешивания и установления теплового равновесия: \( T_{итога} = 90^\circ C \)
- Удельные теплоёмкости: \( c_{чая} = c_{воды} = 4200\, \text{Дж/(кг·}^\circ C) \)
- Пусть масса чая — \( m_{чая} \), масса воды, добавленной в первый раз — \( m_{вода,1} \).
- Время после первого смешивания — установление теплового равновесия.
1) Отношение количества теплоты, отданного чаем, к количеству теплоты, полученному водой.
Тепло, отданное чаем:
Чай остывает с температуры 100°C до 90°C, потеряв тепло:
\[ Q_{чая} = c \cdot m_{чая} \cdot (T_{нач} - T_{итога}) = c \cdot m_{чая} \cdot (100 - 90) = c \cdot m_{чая} \cdot 10 \]
Тепло, полученное водой:
Вода нагревается с 10°C до 90°C, получая тепло:
\[ Q_{воды} = c \cdot m_{воды,1} \cdot (T_{итога} - T_{воды,1}) = c \cdot m_{воды,1} \cdot (90 - 10) = c \cdot m_{воды,1} \cdot 80 \]
Отношение теплоотдачи чая к теплоприему водой:
\[ \frac{Q_{чая}}{Q_{воды}} = \frac{c \cdot m_{чая} \cdot 10}{c \cdot m_{воды,1} \cdot 80} = \frac{m_{чая} \cdot 10}{m_{воды,1} \cdot 80} = \frac{m_{чая}}{m_{воды,1}} \cdot \frac{10}{80} = \frac{m_{чая}}{m_{воды,1}} \cdot \frac{1}{8} \]
2) Найти отношение массы чая к массе добавленной воды после первого этапа:
Из закона сохранения энергии для полной тепловой системы (без потерь):
\[ Q_{чая} = Q_{воды} \]
Подставляем выражения:
\[ c \cdot m_{чая} \cdot (100 - 90) = c \cdot m_{воды,1} \cdot (90 - 10) \]
Можно сократить \( c \):
\[ m_{чая} \cdot 10 = m_{воды,1} \cdot 80 \]
Отсюда:
\[ \frac{m_{чая}}{m_{воды,1}} = \frac{80}{10} = 8 \]
Ответ на первый и второй пункты:
\[ \boxed{ \text{Отношение теплоты:} \quad \frac{Q_{чая}}{Q_{воды}} = \frac{1}{8} \\ \text{Массовое отношение:} \quad \frac{m_{чая}}{m_{вода,1}}=8 } \]
3) После добавления ещё одной порции холодной воды такой же массы \( m_{вода,2} = m_{вода,1} \), какая станет температура?
Дано:
- Масса воды, добавленной второй раз: \( m_{вода,2} = m_{вода,1} \)
- Температурный эффект: вода — всё ещё 10°C
- Температура после второго смещения — опять 90°C, перед добавлением второй порции.
Нам нужно определить новую температуру \( T_{нов} \), которое установится после второго смешивания.
Обратите внимание: После второго добавления воды, масса воды составляет:
\[ m_{вода,итого} = m_{вода,1} + m_{вода,2} = 2 m_{вода,1} \]
Общая теплоёмкость системы:
\[ C_{общ} = c \cdot m_{чая} + c \cdot (m_{вода,1} + m_{вода,2}) = c \cdot (m_{чая} + 2 m_{вода,1}) \]
Найдем численные значения массы:
\[ m_{чая} = 8 m_{вода,1} \]
Следовательно,
\[ C_{общ} = c \left( 8 m_{вода,1} + 2 m_{вода,1} \right) = c \cdot 10 m_{вода,1} \]
Энергетический баланс после добавления второй порции:
Изначальная температура перед добавлением второй воды — \( T_{итога} = 90^\circ C \).
Процесс:
- Чай и текущий объем воды (сейчас \( 2 m_{вода,1} \)) — температура \( T_{итога} \).
- Вода добавляется холодная — 10°C.
- После добавки и установления равновесия температура станет \( T_{нов} \).
Запишем теплообмен:
- Энергия, отданная чаем или водой:
Общий объём (масса воды + чай):
\[ M_{общ} = m_{чая} + 2 m_{вода,1} = 8 m_{вода,1} + 2 m_{вода,1} = 10 m_{вода,1} \]
До добавления второй воды:
\[ Q_{отдача} = c \cdot m_{чая} \cdot (T_{итога} - T_{нов}) + c \cdot (2 m_{вода,1}) \cdot (T_{итога} - T_{нов}) = c \cdot (m_{чая} + 2 m_{вода,1}) \cdot (T_{итога} - T_{нов}) \]
Но, так как в системе есть два компонента — чай и вода, и тепло идет только в воду с холодной порцией, а система стремится к новому равновесию \( T_{нов} \).
Тепло, полученное новой порцией холодной воды:
\[ Q_{воды,2} = c \cdot m_{вода,2} \cdot (T_{нов} - 10) \]
Поскольку потерь нет, сумма тепла, отданного горячими частями — равна теплу, полученному холодной водой:
\[ Q_{отдача} = Q_{воды,2} \]
Подставим:
\[ c \cdot (m_{чая} + 2m_{вода,1}) \cdot (90 - T_{нов}) = c \cdot m_{вода,1} \cdot (T_{нов} - 10) \]
Упростим, сократив \( c \):
\[ (8 m_{вода,1} + 2 m_{вода,1}) (90 - T_{нов}) = m_{вода,1} (T_{нов} - 10) \]
\[ (10 m_{вода,1}) (90 - T_{нов}) = m_{вода,1} (T_{нов} - 10) \]
Упростим оба уравнения на \( m_{вода,1} \):
\[ 10 (90 - T_{нов}) = T_{нов} - 10 \]
Раскроем скобки:
\[ 900 - 10 T_{нов} = T_{нов} - 10 \]
Перенесем все в левую сторону:
\[ 900 + 10 = T_{нов} + 10 T_{нов} \]
\[ 910 = 11 T_{нов} \]
Найдем \( T_{нов} \):
\[ T_{нов} = \frac{910}{11} \approx 82.73^\circ C \]
Итоговые ответы:
Отношение теплоты: \(\displaystyle \frac{Q_{чая}}{Q_{воды}} = \frac{1}{8}\)
Отношение масс: \(\displaystyle \frac{m_{чая}}{m_{вода,1}} = 8\)
Температура после второго добавления воды: \(\boxed{\approx 82.7^\circ C}\)
Если есть ещё вопросы — с удовольствием помогу!
