Давайте разберём задачу по шагам, чтобы понять и решить её полностью.
Дано:
- Начальная температура чая: ( T_{чая,нач} = 100^\circ C )
- Температура воды, добавленной в первый раз: ( T_{воды,1} = 10^\circ C )
- Температура после смешивания и установления теплового равновесия: ( T_{итога} = 90^\circ C )
- Удельные теплоёмкости: ( c_{чая} = c_{воды} = 4200, \text{Дж/(кг·}^\circ C) )
- Пусть масса чая — ( m_{чая} ), масса воды, добавленной в первый раз — ( m_{вода,1} ).
- Время после первого смешивания — установление теплового равновесия.
1) Отношение количества теплоты, отданного чаем, к количеству теплоты, полученному водой.
Тепло, отданное чаем:
Чай остывает с температуры 100°C до 90°C, потеряв тепло:
[
Q_{чая} = c \cdot m_{чая} \cdot (T_{нач} - T_{итога}) = c \cdot m_{чая} \cdot (100 - 90) = c \cdot m_{чая} \cdot 10
]
Тепло, полученное водой:
Вода нагревается с 10°C до 90°C, получая тепло:
[
Q_{воды} = c \cdot m_{воды,1} \cdot (T_{итога} - T_{воды,1}) = c \cdot m_{воды,1} \cdot (90 - 10) = c \cdot m_{воды,1} \cdot 80
]
Отношение теплоотдачи чая к теплоприему водой:
[
\frac{Q_{чая}}{Q_{воды}} = \frac{c \cdot m_{чая} \cdot 10}{c \cdot m_{воды,1} \cdot 80} = \frac{m_{чая} \cdot 10}{m_{воды,1} \cdot 80} = \frac{m_{чая}}{m_{воды,1}} \cdot \frac{10}{80} = \frac{m_{чая}}{m_{воды,1}} \cdot \frac{1}{8}
]
2) Найти отношение массы чая к массе добавленной воды после первого этапа:
Из закона сохранения энергии для полной тепловой системы (без потерь):
[
Q_{чая} = Q_{воды}
]
Подставляем выражения:
[
c \cdot m_{чая} \cdot (100 - 90) = c \cdot m_{воды,1} \cdot (90 - 10)
]
Можно сократить ( c ):
[
m_{чая} \cdot 10 = m_{воды,1} \cdot 80
]
Отсюда:
[
\frac{m_{чая}}{m_{воды,1}} = \frac{80}{10} = 8
]
Ответ на первый и второй пункты:
[
\boxed{
\text{Отношение теплоты:} \quad \frac{Q_{чая}}{Q_{воды}} = \frac{1}{8} \
\text{Массовое отношение:} \quad \frac{m_{чая}}{m_{вода,1}}=8
}
]
3) После добавления ещё одной порции холодной воды такой же массы ( m_{вода,2} = m_{вода,1} ), какая станет температура?
Дано:
- Масса воды, добавленной второй раз: ( m_{вода,2} = m_{вода,1} )
- Температурный эффект: вода — всё ещё 10°C
- Температура после второго смещения — опять 90°C, перед добавлением второй порции.
Нам нужно определить новую температуру ( T_{нов} ), которое установится после второго смешивания.
Обратите внимание: После второго добавления воды, масса воды составляет:
[
m_{вода,итого} = m_{вода,1} + m_{вода,2} = 2 m_{вода,1}
]
Общая теплоёмкость системы:
[
C_{общ} = c \cdot m_{чая} + c \cdot (m_{вода,1} + m_{вода,2}) = c \cdot (m_{чая} + 2 m_{вода,1})
]
Найдем численные значения массы:
[
m_{чая} = 8 m_{вода,1}
]
Следовательно,
[
C_{общ} = c \left( 8 m_{вода,1} + 2 m_{вода,1} \right) = c \cdot 10 m_{вода,1}
]
Энергетический баланс после добавления второй порции:
Изначальная температура перед добавлением второй воды — ( T_{итога} = 90^\circ C ).
Процесс:
- Чай и текущий объем воды (сейчас ( 2 m_{вода,1} )) — температура ( T_{итога} ).
- Вода добавляется холодная — 10°C.
- После добавки и установления равновесия температура станет ( T_{нов} ).
Запишем теплообмен:
- Энергия, отданная чаем или водой:
Общий объём (масса воды + чай):
[
M_{общ} = m_{чая} + 2 m_{вода,1} = 8 m_{вода,1} + 2 m_{вода,1} = 10 m_{вода,1}
]
До добавления второй воды:
[
Q_{отдача} = c \cdot m_{чая} \cdot (T_{итога} - T_{нов}) + c \cdot (2 m_{вода,1}) \cdot (T_{итога} - T_{нов}) = c \cdot (m_{чая} + 2 m_{вода,1}) \cdot (T_{итога} - T_{нов})
]
Но, так как в системе есть два компонента — чай и вода, и тепло идет только в воду с холодной порцией, а система стремится к новому равновесию ( T_{нов} ).
Тепло, полученное новой порцией холодной воды:
[
Q_{воды,2} = c \cdot m_{вода,2} \cdot (T_{нов} - 10)
]
Поскольку потерь нет, сумма тепла, отданного горячими частями — равна теплу, полученному холодной водой:
[
Q_{отдача} = Q_{воды,2}
]
Подставим:
[
c \cdot (m_{чая} + 2m_{вода,1}) \cdot (90 - T_{нов}) = c \cdot m_{вода,1} \cdot (T_{нов} - 10)
]
Упростим, сократив ( c ):
[
(8 m_{вода,1} + 2 m_{вода,1}) (90 - T_{нов}) = m_{вода,1} (T_{нов} - 10)
]
[
(10 m_{вода,1}) (90 - T_{нов}) = m_{вода,1} (T_{нов} - 10)
]
Упростим оба уравнения на ( m_{вода,1} ):
[
10 (90 - T_{нов}) = T_{нов} - 10
]
Раскроем скобки:
[
900 - 10 T_{нов} = T_{нов} - 10
]
Перенесем все в левую сторону:
[
900 + 10 = T_{нов} + 10 T_{нов}
]
[
910 = 11 T_{нов}
]
Найдем ( T_{нов} ):
[
T_{нов} = \frac{910}{11} \approx 82.73^\circ C
]
Итоговые ответы:
Отношение теплоты: (\displaystyle \frac{Q_{чая}}{Q_{воды}} = \frac{1}{8})
Отношение масс: (\displaystyle \frac{m_{чая}}{m_{вода,1}} = 8)
Температура после второго добавления воды: (\boxed{\approx 82.7^\circ C})
Если есть ещё вопросы — с удовольствием помогу!
