2. Тело движется по закону X = 25 + 2t - t2. Какова координата и скорость тела в момент времени 1c? решать не через производную

Давайте решим задачу, не используя производную, а применяя классические методы анализа функции. Дано: \[ X(t) = 25 + 2t - t^2 \] Нужно найти: - координату тела \(X(1)\) в момент времени \(t=1\,с\) - скорость тела в этот момент --- ### Шаг 1: Найти координату тела в момент \(t=1\,с\) Подставим \(t=1\) в формулу для \(X(t)\): \[ X(1) = 25 + 2 \cdot 1 - (1)^2 = 25 + 2 - 1 = 26 \] **Ответ:** координата тела в момент 1 секунды равна **26**. --- ### Шаг 2: Найти скорость тела без использования производной Скорость — это скорость изменения координаты за единицу времени. Можно найти её, вычислив разницу координаты за очень короткий промежуток времени и делением этой разницы на сам промежуток — так называемый метод конечных разностей. В предельно малом промежутке: \[ v(t) \approx \frac{\Delta X}{\Delta t} \] Но поскольку нам нужно точно найти скорость в момент \(t=1\,с\), используем так называемое приближение к производной, подставляя малое изменение времени, например \(t=1\,с \pm \epsilon\), и изучая разницу. Однако, чтобы понять, как ведет себя \(X(t)\), удобно представить, что для малых изменения \( \delta t \): \[ X(t + \delta t) = 25 + 2(t + \delta t) - (t + \delta t)^2 \] Рассмотрим изменение координаты при очень малом \(\delta t\): \[ \Delta X = X(t + \delta t) - X(t) \] подставим: \[ X(t + \delta t) = 25 + 2(t + \delta t) - (t + \delta t)^2 \] \[ = 25 + 2t + 2\delta t - (t^2 + 2t \delta t + (\delta t)^2) \] \[ = 25 + 2t + 2\delta t - t^2 - 2t \delta t - (\delta t)^2 \] Теперь найдем разницу: \[ \Delta X = [25 + 2t + 2\delta t - t^2 - 2t \delta t - (\delta t)^2] - [25 + 2t - t^2] \] \[ = 2\delta t - 2t \delta t - (\delta t)^2 \] При очень малом \(\delta t\), \(\text{(\delta t)}^2\) пренебрегаем, получая: \[ \Delta X \approx 2 \delta t - 2t \delta t = \delta t \cdot (2 - 2t) \] Теперь, чтобы найти скорость в точке \(t=1\): \[ v(1) \approx \frac{\Delta X}{\delta t} \bigg|_{t=1} = 2 - 2 \cdot 1 = 2 - 2 = 0 \] --- ### **Ответ:** - **Координата тела в момент 1 с:** **26** - **Скорость тела в момент 1 с:** **0** Это означает, что в этот момент тело находится в возвратной точке, где скорость равна нулю, и оно меняет направление движения.