2. Тело движется по закону X = 25 + 2t - t2. Какова координата и скорость тела в момент времени 1c? решать не через производную

Давайте решим задачу, не используя производную, а применяя классические методы анализа функции.

Дано:
\[ X(t) = 25 + 2t - t^2 \]

Нужно найти:

• координату тела \(X(1)\) в момент времени \(t=1\,с\)
• скорость тела в этот момент

Шаг 1: Найти координату тела в момент \(t=1\,с\)

Подставим \(t=1\) в формулу для \(X(t)\):

\[ X(1) = 25 + 2 \cdot 1 - (1)^2 = 25 + 2 - 1 = 26 \]

Ответ: координата тела в момент 1 секунды равна 26.

Шаг 2: Найти скорость тела без использования производной

Скорость — это скорость изменения координаты за единицу времени. Можно найти её, вычислив разницу координаты за очень короткий промежуток времени и делением этой разницы на сам промежуток — так называемый метод конечных разностей. В предельно малом промежутке:

\[ v(t) \approx \frac{\Delta X}{\Delta t} \]

Но поскольку нам нужно точно найти скорость в момент \(t=1\,с\), используем так называемое приближение к производной, подставляя малое изменение времени, например \(t=1\,с \pm \epsilon\), и изучая разницу.

Однако, чтобы понять, как ведет себя \(X(t)\), удобно представить, что для малых изменения \( \delta t \):

\[ X(t + \delta t) = 25 + 2(t + \delta t) - (t + \delta t)^2 \]

Рассмотрим изменение координаты при очень малом \(\delta t\):

\[ \Delta X = X(t + \delta t) - X(t) \]

подставим:

\[ X(t + \delta t) = 25 + 2(t + \delta t) - (t + \delta t)^2 \] \[ = 25 + 2t + 2\delta t - (t^2 + 2t \delta t + (\delta t)^2) \] \[ = 25 + 2t + 2\delta t - t^2 - 2t \delta t - (\delta t)^2 \]

Теперь найдем разницу:

\[ \Delta X = [25 + 2t + 2\delta t - t^2 - 2t \delta t - (\delta t)^2] - [25 + 2t - t^2] \]

\[ = 2\delta t - 2t \delta t - (\delta t)^2 \]

При очень малом \(\delta t\), \(\text{(\delta t)}^2\) пренебрегаем, получая:

\[ \Delta X \approx 2 \delta t - 2t \delta t = \delta t \cdot (2 - 2t) \]

Теперь, чтобы найти скорость в точке \(t=1\):

\[ v(1) \approx \frac{\Delta X}{\delta t} \bigg|_{t=1} = 2 - 2 \cdot 1 = 2 - 2 = 0 \]

Ответ:

• Координата тела в момент 1 с: 26
• Скорость тела в момент 1 с: 0

Это означает, что в этот момент тело находится в возвратной точке, где скорость равна нулю, и оно меняет направление движения.