Геометрия · 7 класс Задача №3201088
А
А
В угол Т величиной 156° вписана окружность с центром R, которая касается сторон угла в точках М и Х. Найдите угол MRX. Ответ дайте в градусах.
Давайте разберём задачу шаг за шагом и подробно объясним решение.
Задача:
Дано:
- Угол Т = 156°.
- Внутри этого угла вписана окружность с центром R, которая касается сторон угла в точках М и Х.
- Нужно найти угол MRX.
Что известно:
- Окружность внутри угла касается обеих сторон, значит она является вписанной окружностью угла Т.
- Центр R окружности лежит внутри этого угла и является центром окружности.
Шаг 1. Визуализация
Представим:
- Угол Т с вершиной в точке Т.
- Его стороны — две прямые, исходящие из точки Т.
- Внутри угла проведена окружность, касающаяся обеих сторон в точках М и Х.
Центр окружности — точка R, которая находится внутри угла. Точки М и Х — точки касания окружности со сторонами угла, соответственно.
Шаг 2. Свойства вписанной окружности угла
- Если окружность касается сторон угла, то точки касания М и Х лежат на этих сторонах и касаются окружности под углом, равным половине угла Т.
- Центр R окружности находится на bisсектрисе угла Т, так как окружность касается обеих сторон, равномерно «вписываясь» между ними.
Итак:
- R лежит на биссектрисе угла Т.
- Угол Т — это 156°, следовательно, угол между биссектрисой и любой стороной — это половина from угла Т:
\[ \frac{156^\circ}{2} = 78^\circ \]
Шаг 3. Понимание искомого угла MRX
Обозначим:
- Т связь: точка Т – вершина угла.
- Р – центр окружности (лежит на биссектрисе).
- М и Х – точки касания.
Нам нужно найти угол MRX.
Но:
- T — вершина угла.
- R — центр окружности, лежащей внутри угла, на биссектрисе.
- M и Х — точки касания со сторонами.
Шаг 4. Анализ углов и связей
- Обозначим:
- Вершина угла — T.
- Точки касания: M, Х.
- Центр окружности R — на биссектрисе.
Так как M и Х — точки касания, то:
- Лучи RМ и RХ идут к точкам касания.
- Угол MRX — это угол, образованный отрезками RМ и RХ, исходящими из R.
Шаг 5. Рассмотрение свойств и вывод
- Внутри угла, центр окружности R лежит на биссектрисе.
- Точки касания M и Х лежат на сторонах, причём линии RМ и RХ — радиусы, проведённые к точкам касания.
- Радиусы к точкам касания — перпендикулярны сторонам, то есть:
\[ RМ \perp \text{сторона} \quad \text{в точке M} \\ RХ \perp \text{сторона} \quad \text{в точке Х} \]
Это важное свойство: линии RМ и RХ — перпендикулярны соответствующим сторонам.
Шаг 6. Итоговая часть – определение угла MRX
- Углы между радиусами и сторонами — по 90° (перпендикулярность).
- Угол MRX — это внешний угол при вершине R, образованный линиями RМ и RХ.
Известно:
- R — точка на биссектрисе угла Т.
- Точки М и Х — касания, линии RМ и RХ — радиусы, перпендикулярные сторонам.
- Угол между линиями RМ и RХ — равен половине угла Т.
Почему?
Потому что:
- Угол T = 156°.
- Биссектриса делит угол на два равных: 78° и 78°.
- Радиусы, проведённые к точкам касания, создают углы, равные половинам, и центральный угол между RМ и RХ — это именно половина общего угла (потому что радиусы исходят из одной точки R и касаются сторон, образующих угол 156°).
Следовательно:
\[ \boxed{ \text{Угол MRX} = 78^\circ } \]
Ответ:
\[ \boxed{ 78^\circ } \]
Если появились дополнительные вопросы или нужны разъяснения — спрашивайте!
