Давайте решим задачу пошагово.
Задача: В прямоугольном параллелепипеде ABCDA B C D даны:
- AA₁ = 10,
- AD = 6,
- AB = 8.
Требуется найти косинус угла между векторами DB и AD.
Шаг 1. Построение и обозначение координат
Для удобства выберем систему координат. Пусть точку A — начало координат:
Обозначим координаты других точек:
- В параллелепипеде стороны сначала идут вдоль осей, поскольку он прямоугольный.
Рассмотрим, что известно:
- AB = 8
- AD = 6
- AA₁ = 10 (вертикальное ребро).
Пусть:
- (AB) идёт вдоль оси (x),
- (AD) — вдоль оси (y),
- высота (AA_1) — вдоль оси (z).
Тогда:
[
A = (0,0,0),
]
[
B = (8,0,0),
]
[
D = (0,6,0),
]
[
A_1 = (0,0,10),
]
[
C = (8,6,0),
]
[
B_1 = (8,0,10),
]
[
D_1 = (0,6,10),
]
[
C_1 = (8,6,10).
]
Шаг 2. Находим векторы (DB) и (AD).
[
D = (0,6,0),
]
[
B = (8,0,0),
]
[
\boxed{
\vec{DB} = B - D = (8 - 0, 0 - 6, 0 - 0) = (8, -6, 0).
}
]
[
A = (0,0,0),
]
[
D = (0,6,0),
]
[
\boxed{
\vec{AD} = D - A = (0 - 0, 6 - 0, 0 - 0) = (0, 6, 0).
}
]
Шаг 3. Находим скалярное произведение (\vec{DB} \cdot \vec{AD}).
[
\vec{DB} \cdot \vec{AD} = (8) \times 0 + (-6) \times 6 + 0 \times 0 = 0 - 36 + 0 = -36.
]
Шаг 4. Находим модули векторов (|\vec{DB}|) и (|\vec{AD}|).
[
|\vec{DB}| = \sqrt{8^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10,
]
[
|\vec{AD}| = \sqrt{0^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6.
]
Шаг 5. Вычисляем косинус угла между векторами по формуле:
[
\cos \theta = \frac{\vec{DB} \cdot \vec{AD}}{|\vec{DB}| \times |\vec{AD}|} = \frac{-36}{10 \times 6} = \frac{-36}{60} = -0.6.
]
Ответ:
[
\boxed{
\cos \theta = -0.6.
}
]
Это значит, что угол между векторами DB и AD — острый или тупой в зависимости от знака, а по значению косинуса — он тупой (больше 90°, так как косинус отрицательный).
