В прямоугольном параллелепипеде ABCDA B C D дано :AA =10, AD=6, AB=8. Найти косинус угла между векторами DB и AD .

Давайте решим задачу пошагово.

Задача: В прямоугольном параллелепипеде ABCDA B C D даны:

• AA₁ = 10,
• AD = 6,
• AB = 8.

Требуется найти косинус угла между векторами DB и AD.

Шаг 1. Построение и обозначение координат

Для удобства выберем систему координат. Пусть точку A — начало координат:

• \(A = (0,0,0)\).

Обозначим координаты других точек:

• В параллелепипеде стороны сначала идут вдоль осей, поскольку он прямоугольный.

Рассмотрим, что известно:

• AB = 8
• AD = 6
• AA₁ = 10 (вертикальное ребро).

Пусть:

• \(AB\) идёт вдоль оси \(x\),
• \(AD\) — вдоль оси \(y\),
• высота \(AA_1\) — вдоль оси \(z\).

Тогда:

\[ A = (0,0,0), \] \[ B = (8,0,0), \] \[ D = (0,6,0), \] \[ A_1 = (0,0,10), \] \[ C = (8,6,0), \] \[ B_1 = (8,0,10), \] \[ D_1 = (0,6,10), \] \[ C_1 = (8,6,10). \]

Шаг 2. Находим векторы \(DB\) и \(AD\).

• Вектор \(DB\):

\[ D = (0,6,0), \] \[ B = (8,0,0), \] \[ \boxed{ \vec{DB} = B - D = (8 - 0, 0 - 6, 0 - 0) = (8, -6, 0). } \]

• Вектор \(AD\):

\[ A = (0,0,0), \] \[ D = (0,6,0), \] \[ \boxed{ \vec{AD} = D - A = (0 - 0, 6 - 0, 0 - 0) = (0, 6, 0). } \]

Шаг 3. Находим скалярное произведение \(\vec{DB} \cdot \vec{AD}\).

\[ \vec{DB} \cdot \vec{AD} = (8) \times 0 + (-6) \times 6 + 0 \times 0 = 0 - 36 + 0 = -36. \]

Шаг 4. Находим модули векторов \(\|\vec{DB}\|\) и \(\|\vec{AD}\|\).

\[ \|\vec{DB}\| = \sqrt{8^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10, \]

\[ \|\vec{AD}\| = \sqrt{0^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6. \]

Шаг 5. Вычисляем косинус угла между векторами по формуле:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{DB} \cdot \vec{AD}}{\|\vec{DB}\| \times \|\vec{AD}\|} = \frac{-36}{10 \times 6} = \frac{-36}{60} = -0.6. \]

Ответ:

\[ \boxed{ \cos \theta = -0.6. } \]

Это значит, что угол между векторами DB и AD — острый или тупой в зависимости от знака, а по значению косинуса — он тупой (больше 90°, так как косинус отрицательный).