Конечно! Давайте подробно решим задачу.
Дано:
- Одна сторона треугольника: ( a = 5\sqrt{2} )
- Вторая сторона: ( b = 7 )
- Угол между ними: ( \angle C = 45^\circ )
Найти: площадь треугольника ( S ).
Шаг 1. Используем формулу площади через две стороны и угол между ними
Площадь треугольника можно найти по формуле:
[
S = \frac{1}{2}ab \sin C
]
где:
- ( a ) и ( b ) — две стороны треугольника,
- ( C ) — угол между ними,
- ( \sin C ) — синус этого угла.
Шаг 2. Подставим известные значения
[
S = \frac{1}{2} \times 5\sqrt{2} \times 7 \times \sin 45^\circ
]
Известно, что:
[
\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Подставляем:
[
S = \frac{1}{2} \times 5\sqrt{2} \times 7 \times \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Шаг 3. Упростим выражение
Объединим множители:
[
S = \frac{1}{2} \times 7 \times 5\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Перенесем объеденяющие множители:
[
S = \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\right) \times 7 \times 5\sqrt{2} \times \sqrt{2}
]
или иначе:
[
S = \frac{1}{4} \times 7 \times 5 \sqrt{2} \times \sqrt{2}
]
Шаг 4. Упростим произведения
Обратите внимание, что:
[
\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2
]
Подставим:
[
S = \frac{1}{4} \times 7 \times 5 \times 2
]
Теперь перемножим накрест:
[
S = \frac{1}{4} \times (7 \times 5 \times 2) = \frac{1}{4} \times (7 \times 10) = \frac{1}{4} \times 70
]
Шаг 5. Найдём окончательный ответ
[
S = \frac{70}{4} = \frac{35}{2} = 17.5
]
Итог:
Площадь треугольника равна (\boxed{17.5}) квадратных единиц.
