треугольнике одна из сторон равна 5•√2, другая сторона равна 7, а угол между ними равен 45°. Найди площадь треугольника
Конечно! Давайте подробно решим задачу.
Дано:
- Одна сторона треугольника: \( a = 5\sqrt{2} \)
- Вторая сторона: \( b = 7 \)
- Угол между ними: \( \angle C = 45^\circ \)
Найти: площадь треугольника \( S \).
Шаг 1. Используем формулу площади через две стороны и угол между ними
Площадь треугольника можно найти по формуле:
\[ S = \frac{1}{2}ab \sin C \]
где:
- \( a \) и \( b \) — две стороны треугольника,
- \( C \) — угол между ними,
- \( \sin C \) — синус этого угла.
Шаг 2. Подставим известные значения
\[ S = \frac{1}{2} \times 5\sqrt{2} \times 7 \times \sin 45^\circ \]
Известно, что:
\[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Подставляем:
\[ S = \frac{1}{2} \times 5\sqrt{2} \times 7 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Шаг 3. Упростим выражение
Объединим множители:
\[ S = \frac{1}{2} \times 7 \times 5\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Перенесем объеденяющие множители:
\[ S = \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\right) \times 7 \times 5\sqrt{2} \times \sqrt{2} \]
или иначе:
\[ S = \frac{1}{4} \times 7 \times 5 \sqrt{2} \times \sqrt{2} \]
Шаг 4. Упростим произведения
Обратите внимание, что:
\[ \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \]
Подставим:
\[ S = \frac{1}{4} \times 7 \times 5 \times 2 \]
Теперь перемножим накрест:
\[ S = \frac{1}{4} \times (7 \times 5 \times 2) = \frac{1}{4} \times (7 \times 10) = \frac{1}{4} \times 70 \]
Шаг 5. Найдём окончательный ответ
\[ S = \frac{70}{4} = \frac{35}{2} = 17.5 \]
Итог:
Площадь треугольника равна \(\boxed{17.5}\) квадратных единиц.
