Реши мне все это правильно
Конечно! Вот подробные решения по каждому пункту из данного задания.
1. Представьте в виде многочлена:
- \((c - 6)^2\)
Раскроем квадрат двучлена: \[ (c - 6)^2 = c^2 - 2 \cdot 6 \cdot c + 6^2 = c^2 - 12c + 36 \]
- \((2a - 3b)^2\)
Аналогично: \[ (2a - 3b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2 \]
- \((5 - a)(5 + a)\)
Это разность квадратов: \[ (5)^2 - a^2 = 25 - a^2 \]
- \((7x + 10y)(10y - 7x)\)
Можно применить формулу разности квадратов: \[ (7x + 10y)(10y - 7x) = (7x)^2 - (10y)^2 = 49x^2 - 100y^2 \]
2. Разложите на множители:
- \(b^2 - 49\)
Это разность квадратов: \[ b^2 - 7^2 = (b - 7)(b + 7) \]
- \(c^2 - 8c + 16\)
Это квадрат двучлена: \[ c^2 - 8c + 16 = (c - 4)^2 \]
- \(100 - 9x^2\)
Это разность квадратов: \[ 100 - 9x^2 = 10^2 - (3x)^2 = (10 - 3x)(10 + 3x) \]
- \(4a^2 + 20ab + 25b^2\)
Это — квадрат бинома: \[ (2a + 5b)^2 \]
3. Упростите выражение \((x - 2)(x + 2) - (x - 5)^2\):
Раскроем скобки: \[ (x - 2)(x + 2) = x^2 - 4 \quad \text{(разность квадратов)} \] и \[ (x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25 \]
Тогда: \[ x^2 - 4 - (x^2 - 10x + 25) = x^2 - 4 - x^2 + 10x - 25 = 10x - 29 \]
4. Решите уравнение:
\[ 4(3y + 1)^2 - 27 = 4(4y - 9) + 2(5y + 2)(2y - 7) \]
Раскроем левую сторону: \[ 4(3y + 1)^2 - 27 \]
expандируем \((3y + 1)^2 = 9y^2 + 6y + 1\): \[ 4(9y^2 + 6y + 1) - 27 = 36y^2 + 24y + 4 - 27 = 36y^2 + 24y - 23 \]
Теперь правую сторону: \[ 4(4y - 9) + 2(5y + 2)(2y - 7) \]
Раскроем: \[ 16y - 36 + 2[(5y)(2y) + (5y)(-7) + 2(2y) + 2(-7)] \]
или, подробнее: \[ 16y - 36 + 2(10y^2 - 35y + 4y - 14) = 16y - 36 + 2(10y^2 - 31y - 14) \]
распределим: \[ 16y - 36 + 20y^2 - 62y - 28 \]
собираем: \[ 20y^2 + (16y - 62y) + (-36 - 28) = 20y^2 - 46y - 64 \]
Теперь уравнение: \[ 36y^2 + 24y - 23 = 20y^2 - 46y - 64 \]
Перенесем все в левую часть: \[ 36y^2 - 20y^2 + 24y + 46y - 23 + 64 = 0 \]
Объединим: \[ 16y^2 + 70y + 41 = 0 \]
Решим квадратное уравнение по дискриминанту: \[ D = 70^2 - 4 \cdot 16 \cdot 41 = 4900 - 2624 = 2276 \]
Найдем корни: \[ y = \frac{-70 \pm \sqrt{2276}}{2 \cdot 16} \]
Упрощая, оставим так:
5. Представьте в виде произведения выражение \((4b - 9)^2 - (3b + 8)^2\):
Это разность квадратов: \[ A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \]
где: \[ A = 4b - 9,\quad B = 3b + 8 \]
Тогда: \[ (4b - 9 - (3b + 8))(4b - 9 + (3b + 8)) \]
Решим каждое: \[ (4b - 9 - 3b - 8) = (b - 17) \] и \[ (4b - 9 + 3b + 8) = (7b - 1) \]
Итог: \[ (b - 17)(7b - 1) \]
6. Упростите выражение \((3 - b)(3 + b)(9 + b^2) + (4 + b^2)^2\) при \(b = \frac{1}{2}\):
\[ (3 - b)(3 + b)(9 + b^2) + (4 + b^2)^2 \]
Рассчитаем отдельно для \(b = \frac{1}{2}\):
- \(3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)
- \(3 + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\)
Перемножим: \[ \frac{5}{2} \times \frac{7}{2} = \frac{35}{4} \]
Найдем \(9 + b^2\): \[ b^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] Тогда: \[ 9 + \frac{1}{4} = \frac{36}{4} + \frac{1}{4} = \frac{37}{4} \]
Первое слагаемое: \[ \frac{35}{4} \times \frac{37}{4} = \frac{1295}{16} \]
Теперь второе слагаемое: \[ (4 + b^2)^2 = \left(4 + \frac{1}{4}\right)^2 \]
Объединяем: \[ 4 + \frac{1}{4} = \frac{16}{4} + \frac{1}{4} = \frac{17}{4} \]
квадрат: \[ \left(\frac{17}{4}\right)^2 = \frac{289}{16} \]
Всё вместе: \[ \frac{1295}{16} + \frac{289}{16} = \frac{1584}{16} = 99 \]
Если нужно, я могу помочь еще или подробнее с каким-то пунктом!
