Прямая KM касается окружности радиуса 5 см (м-точка касания). Найдите KM, если Ка=13 см (А–центр окружности)

Давайте подробно разберем задачу. **Дано:** - Окружность с центром \(A\). - Радиус окружности \(r = 5\, \text{см}\). - \(K\) — точка касания прямой \(KM\) с окружностью (прямая касается окружности в точке \(K\)). - \(A\) — центр окружности. - \(A K = 13\, \text{см}\). **Задача:** найти длину отрезка \(K M\). --- ### Шаг 1. Визуализируем и обозначим ситуацию - Есть окружность с центром \(A\) и радиусом \(5\, \text{см}\). - Из точки \(A\) проведем отрезок \(A K\), который равен \(13\, \textсм}\). - Точка \(K\) — точка касания прямой \(KM\) с окружностью. - Так как \(K\) — точка касания, то касательная к окружности в этой точке перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания: \[ A K \perp K M \] - То есть, \(A K \perp K M\). --- ### Шаг 2. Анализ геометрических соотношений - \(A K = 13\, \text{см}\). - Радиус \(A O = 5\, \textсм}\), так как \(A\) — центр окружности. - Так как \(K\) — точка касания, то \(A K\) — хорда, проходящая через точку касания, но поскольку центр окружности — точка \(A\), — важное замечание: точка \(K\) — точка касания. Она лежит на окружности, и от \(A\) до \(K\) — это длина хорды, проходящей через точку касания. - В условии сказано, что \(A K = 13\, \textсм}\), а радиус окружности — 5 см. --- ### Шаг 3. Определение расположения точки \(K\) - Так как \(A K\) — произвольная точка вне окружности, которая даже может быть внутри или вне. - Но поскольку газета говорит, что \(A K = 13\, \textсм}\), а радиус — 5 см, то точка \(K\) лежит вне окружности, и между центром \(A\) и \(K\) есть такой отрезок. **Ключевой момент:** Точка \(K\) — точка касания, и она расположена так, что касательная к окружности в \(K\) перпендикулярна радиусу \(A K\). Также, важное уточнение — если \(A K = 13\, \textсм}\), а радиус окр. — 5 см, тогда можно предположить, что \(K\) лежит вне окружности. --- ### Шаг 4. Построение и решение задачи Поскольку нам нужно найти \(K M\), а \(K\) — точка касания, по условию, касательная к окружности в точке \(K\) образует с радиусом \(A K\) прямой угол. Рассмотрим прямую \(KM\): - Так как \(K\) — точка касания, то \(K M\) — касательная к окружности в точке \(K\). - Радиус \(A K\) перпендикулярен касательной \(K M\). Обозначим: - \(A\) — центр окружности. - \(K\) — точка касания. - \(M\) — точка, через которую проходит касательная, и эта касательная пересекает линию \(A K\) в точке \(K\). Так как касательная в точке \(K\) перпендикулярна радиусу \(A K\), то \(A K \perp K M\). --- ### Шаг 5. Использование заданных данных - \(A K = 13\, \textсм}\), и \(A O = 5\, \textсм}\). Поскольку касательная перпендикулярна радиусу, то: \[ A K \perp K M \] - \(A\)—центр окружности. - \(K\)—точка касания, которая находится вне окружности на расстоянии 13 см от \(A\). Используем теорему Пифагора: - Треугольник \(A K M\) прямой, так как \(A K \perp K M\), - В этом треугольнике: \[ A M^2 = A K^2 + K M^2 \] Нам нужно найти \(K M\). Для этого нужно знать \(A M\). Но можно заметить, что: \[ A K = 13\, \text{см} \] и мы можем построить радиус \(A O = 5\, \textсм}\), а \(K\) — внешняя точка. ### Важное уточнение Из условие: "**прямая KM касается окружности радиуса 5 см**". То есть, \(K M\) — касательная к окружности в точке \(K\). - То есть, точка \(K\) — точка касания, и \(A\) — центр. Следовательно, \(K M\) — касательная к окружности радиуса 5 см, проходящая в точке \(K\). Такая ситуация возможна, если: - \(K\) — внешняя точка, откуда проводятся касательные к окружности. - Расстояние от \(A\) до точки \(K\): \[ A K = 13\, \textсм} \] - Расстояние от \(K\) до \(A\): \[ A K = 13\, \textсм} \] - Расстояние от \(K\) до центра \(A\), а радиус: \(5\, \text{см}\). --- ### Шаг 6. Итоговая формулировка - Расстояние от центра \(A\) до точки \(K\): \[ A K = 13\, \text{см} \] - Радиус: 5 см. - Расстояние \(A K\) больше радиуса, значит от \(K\) до окружности — это длина касательной. - Длина касательной из точки до окружности (расстояние от точки до касательной линии), по теореме: \[ K M = \sqrt{A K^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\, \text см} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{K M = 12\, \text{см}} \] --- Если нужно, могу объяснить подробнее или уточнить любой шаг!