прямая KM касается окружности радиуса 5 см (м-точка касания). Найдите KM, если Ка=13 см (А–центр окружности)
Давайте подробно разберем задачу.
Дано:
- Окружность с центром \(A\).
- Радиус окружности \(r = 5\, \text{см}\).
- \(K\) — точка касания прямой \(KM\) с окружностью (прямая касается окружности в точке \(K\)).
- \(A\) — центр окружности.
- \(A K = 13\, \text{см}\).
Задача: найти длину отрезка \(K M\).
Шаг 1. Визуализируем и обозначим ситуацию
- Есть окружность с центром \(A\) и радиусом \(5\, \text{см}\).
- Из точки \(A\) проведем отрезок \(A K\), который равен \(13\, \textсм}\).
- Точка \(K\) — точка касания прямой \(KM\) с окружностью.
- Так как \(K\) — точка касания, то касательная к окружности в этой точке перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания: \[ A K \perp K M \]
- То есть, \(A K \perp K M\).
Шаг 2. Анализ геометрических соотношений
\(A K = 13\, \text{см}\).
Радиус \(A O = 5\, \textсм}\), так как \(A\) — центр окружности.
Так как \(K\) — точка касания, то \(A K\) — хорда, проходящая через точку касания, но поскольку центр окружности — точка \(A\),
— важное замечание: точка \(K\) — точка касания. Она лежит на окружности, и от \(A\) до \(K\) — это длина хорды, проходящей через точку касания.
В условии сказано, что \(A K = 13\, \textсм}\), а радиус окружности — 5 см.
Шаг 3. Определение расположения точки \(K\)
- Так как \(A K\) — произвольная точка вне окружности, которая даже может быть внутри или вне.
- Но поскольку газета говорит, что \(A K = 13\, \textсм}\), а радиус — 5 см, то точка \(K\) лежит вне окружности, и между центром \(A\) и \(K\) есть такой отрезок.
Ключевой момент:
Точка \(K\) — точка касания, и она расположена так, что касательная к окружности в \(K\) перпендикулярна радиусу \(A K\).
Также, важное уточнение — если \(A K = 13\, \textсм}\), а радиус окр. — 5 см, тогда можно предположить, что \(K\) лежит вне окружности.
Шаг 4. Построение и решение задачи
Поскольку нам нужно найти \(K M\), а \(K\) — точка касания, по условию, касательная к окружности в точке \(K\) образует с радиусом \(A K\) прямой угол.
Рассмотрим прямую \(KM\):
- Так как \(K\) — точка касания, то \(K M\) — касательная к окружности в точке \(K\).
- Радиус \(A K\) перпендикулярен касательной \(K M\).
Обозначим:
- \(A\) — центр окружности.
- \(K\) — точка касания.
- \(M\) — точка, через которую проходит касательная, и эта касательная пересекает линию \(A K\) в точке \(K\).
Так как касательная в точке \(K\) перпендикулярна радиусу \(A K\), то \(A K \perp K M\).
Шаг 5. Использование заданных данных
- \(A K = 13\, \textсм}\), и \(A O = 5\, \textсм}\).
Поскольку касательная перпендикулярна радиусу, то:
\[ A K \perp K M \]
- \(A\)—центр окружности.
- \(K\)—точка касания, которая находится вне окружности на расстоянии 13 см от \(A\).
Используем теорему Пифагора:
Треугольник \(A K M\) прямой, так как \(A K \perp K M\),
В этом треугольнике:
\[ A M^2 = A K^2 + K M^2 \]
Нам нужно найти \(K M\). Для этого нужно знать \(A M\). Но можно заметить, что:
\[ A K = 13\, \text{см} \]
и мы можем построить радиус \(A O = 5\, \textсм}\), а \(K\) — внешняя точка.
Важное уточнение
Из условие: "прямая KM касается окружности радиуса 5 см".
То есть, \(K M\) — касательная к окружности в точке \(K\).
- То есть, точка \(K\) — точка касания, и \(A\) — центр.
Следовательно, \(K M\) — касательная к окружности радиуса 5 см, проходящая в точке \(K\).
Такая ситуация возможна, если:
\(K\) — внешняя точка, откуда проводятся касательные к окружности.
Расстояние от \(A\) до точки \(K\):
\[ A K = 13\, \textсм} \]
- Расстояние от \(K\) до \(A\):
\[ A K = 13\, \textсм} \]
- Расстояние от \(K\) до центра \(A\), а радиус: \(5\, \text{см}\).
Шаг 6. Итоговая формулировка
- Расстояние от центра \(A\) до точки \(K\):
\[ A K = 13\, \text{см} \]
Радиус: 5 см.
Расстояние \(A K\) больше радиуса, значит от \(K\) до окружности — это длина касательной.
Длина касательной из точки до окружности (расстояние от точки до касательной линии), по теореме:
\[ K M = \sqrt{A K^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\, \text см} \]
Ответ:
\[ \boxed{K M = 12\, \text{см}} \]
Если нужно, могу объяснить подробнее или уточнить любой шаг!
