Окружность с радиусом 6,1 см вписана в прямоугольный треугольник. Найди периметр треугольника, если точка касания Q делит гипотенузу на отрезки, равные 16,7 и 9 см. Вырази ответ в…
Окружность с радиусом 6,1 см вписана в прямоугольный треугольник. Найди периметр треугольника, если точка касания Q делит гипотенузу на отрезки, равные 16,7 и 9 см. Вырази ответ в см.
Рассмотрим задачу, в которой окружность с радиусом 6,1 см вписана в прямоугольный треугольник. Нам нужно найти периметр этого треугольника, при условии, что точка касания Q делит гипотенузу на отрезки длиной 16,7 см и 9 см.
Обозначим:
- \( \triangle ABC \) — прямоугольный треугольник, гипотенуза — \( AB \).
- \( AC \) и \( BC \) — катеты.
- \( AB \) — гипотенуза.
- \( Q \) — точка касания вписанной окружности с гипотенузой.
Шаг 1. Свойства вписанной окружности
Для любого треугольника радиус вписанной окружности связан со сторонами и полуингом полупериметра \( p \).
Обозначим стороны:
- \( a = BC \),
- \( b = AC \),
- \( c = AB \) — гипотенуза.
Пусть \( r = 6,1 \) — радиус окружности.
Известно, что:
\[ r = \frac{S}{p}, \]
где \( S \) — площадь треугольника, а \( p = \frac{a + b + c}{2} \).
Также для прямоугольного треугольника существует важное свойство: радиус вписанной окружности равен:
\[ r = \frac{a + b - c}{2}. \]
Это стандартное свойство — радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике равен:
\[ r = \frac{a + b - c}{2}. \]
Шаг 2. Использование свойства радиуса
По условию,
\[ r = 6,1, \]
поэтому:
\[ a + b - c = 2r = 2 \times 6,1 = 12,2. \]
Обозначим:
\[ a + b = c + 12,2. \]
Шаг 3. Расстояние между точками касания и гипотенузой
Точка касания \( Q \) делит гипотенузу \( AB \) на отрезки 16,7 см и 9 см, то есть:
\[ AQ = 16,7, \] \[ QB = 9, \] \[ AB = c = 16,7 + 9 = 25,4. \]
Теперь, у нас есть длина гипотенузы \( c = 25,4 \).
Шаг 4. Связь с катетами \( a \) и \( b \)
В вписанной окружности точки касания с гипотенузой и катетами характеризуются тем, что:
- Расстояние от точки касания до вершины, где этот катет выходит, равно \( s - a \) или \( s - b \),
где \( s = p \) — полупериметр.
Но в прямоугольном треугольнике свойства точек касания помогают связать катеты и гипотенузу.
Из свойств вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:
\[ \text{Длина касательной от вершины}\; C \text{ до точки касания}\; Q\; = s - a, \] \[ \text{Длина касательной от вершины}\; B \text{ до точки касания}\; Q\; = s - b, \] \[ \text{Длина касательной от вершины}\; A \text{ до точки касания}\; Q\; = s - c. \]
Так как \( Q \) делит гипотенузу на отрезки 16,7 и 9, то:
\[ s - c = \text{расстояние от вершины } A \text{ до } Q, \] а также, так как \( A \) — это вершина, соответствующая гипотенузе, можно определить:
\[ s - c = \text{минимальная длина касательной, так как } c = 25,4. \]
Шаг 5. Вычисление полупериметра \( s \)
Известно, что:
\[ c = 25,4, \] \[ a + b = c + 12,2 = 25,4 + 12,2 = 37,6. \]
Полупериметр:
\[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{37,6 + 25,4}{2} = \frac{63}{2} = 31,5. \]
Шаг 6. Найти стороны \( a \) и \( b \)
Из свойств касания:
\[ s - a = \text{длина от вершины } C \text{ до } Q, \] \[ s - b = \text{длина от вершины } B \text{ до } Q. \]
Также из условия длины гипотенузы \( c = 25,4 \):
- расстояние от вершины \( A \) до точки касания — \( s - c = 31,5 - 25,4 = 6,1 \).
Это соответствует радиусу вписанной окружности, что также подтверждает свойства связей.
Шаг 7. Использование прямоугольной формы
Зная \( a + b = 37,6 \), \( c = 25,4 \), и что треугольник прямой, используй теорему Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = c^2 = 25,4^2. \]
Вычислим \( c^2 \):
\[ 25,4^2 = 645,16. \]
Теперь, \( a + b = 37,6 \).
Заменим \( b = 37,6 - a \), тогда:
\[ a^2 + (37,6 - a)^2 = 645,16. \]
Раскроем скобки:
\[ a^2 + (37,6)^2 - 2 \times 37,6 \times a + a^2 = 645,16, \]
\[ a^2 + 1413,76 - 75,2a + a^2 = 645,16, \]
Объединим подобные:
\[ 2a^2 - 75,2a + 1413,76 = 645,16, \]
Перенесем \( 645,16 \):
\[ 2a^2 - 75,2a + (1413,76 - 645,16) = 0, \]
\[ 2a^2 - 75,2a + 768,6 = 0. \]
Разделим всю уравнение на 2:
\[ a^2 - 37,6a + 384,3 = 0. \]
Решим это квадратное уравнение:
\[ a = \frac{37,6 \pm \sqrt{(37,6)^2 - 4 \times 384,3}}{2}. \]
Вычислим дискриминант:
\[ (37,6)^2 = 1413,76, \] \[ 4 \times 384,3 = 1537,2, \] \[ \text{Дискриминант} = 1413,76 - 1537,2 = -123,44. \]
Отрицательный дискриминант говорит о том, что ошибка в расчетах или исходных допущениях. Но в задаче есть важное условие — окружность вписана в прямоугольный треугольник, и радиус равен 6,1 см. Это подсказка, что, возможно, проще — сразу понять, что радиус окружности в прямоугольном треугольнике равен
\[ r = \frac{a + b - c}{2}. \]
Мы нашли, что \( r = 6,1 \), а гипотенуза \( c = 25,4 \), тогда:
\[ a + b = c + 12,2 = 25,4 + 12,2 = 37,6, \]
что подтверждается.
Итоговая формула:
Поскольку \( a + b = 37,6 \), а гипотенуза \( c = 25,4 \), стороны \( a \) и \( b \) — катеты прямого треугольника.
Для поиска сторон, используем теорему Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = c^2. \]
Да, есть гипотеза, что стороны \( a \) и \( b \) — катеты прямоугольника, и сумма их равна 37,6.
Рассмотрим:
\[ a + b = 37,6, \] \[ a^2 + (37,6 - a)^2 = 645,16. \]
Раскроем скобки:
\[ a^2 + 1413,76 - 75,2a + a^2 = 645,16, \]
\[ 2a^2 - 75,2a + 1413,76 = 645,16, \]
\[ 2a^2 - 75,2a + 768,6 = 0, \]
разделим на 2:
\[ a^2 - 37,6a + 384,3 = 0, \]
как ранее.
Рассчитаем discriminant:
\[ D = (37,6)^2 - 4 \times 384,3 = 1413,76 - 1537,2 = -123,44, \]
что показывает, что стороны не совпадают с предположениями, что из-за самой даны.
Общий вывод:
Стройте решение по известной формуле для периметра треугольника:
\[ \boxed{ \text{Периметр } P = a + b + c. } \]
Значит,
\[ P = 37,6 + 25,4 = 63 — \text{см}. \]
Итог:
Ответ: периметр прямоугольного треугольника равен 63 см.
