В треугольнике АВС угол С равен 90° , СН-высота, АВ=45, sinA=2/3 . найдите длину отрезка ВН

Давайте рассмотрим задачу поэтапно и подробно. В условии дан треугольник \( ABC \), в котором угол \( C \) равен \( 90^\circ \). Известно, что \( AB = 45 \), \( \sin A = \frac{2}{3} \), и нужно найти длину отрезка \( BN \), где \( N \) — точка, в которой высота из \( C \) падает на сторону \( AB \).

---

Шаг 1. Постановка задачи и важные данные

• \( \triangle ABC \), с прямым углом \( C \) (\( \angle C = 90^\circ \))
• \( AB \) — гипотенуза, равна 45
• \( \sin A = \frac{2}{3} \)
• \( СН \) — высота, опущенная из \( C \) на \( AB \)
• Нужно найти \( BN \)

---

Шаг 2. Построение и использование геометрических свойств

Поскольку:

• \( \triangle ABC \) — прямоугольный, \( C \) — прямой угол
• \( \angle A \) — острый угол, против него — катет \( BC \)
• \( \angle B \) — острый угол, против него — катет \( AC \)

Известно, что:

\[ \sin A = \frac{\text{прилежащий катет к углу }A}{гипотенуза} = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{3} \]

Следовательно:

\[ BC = \frac{2}{3} \times AB = \frac{2}{3} \times 45 = 30 \]

---

Шаг 3. Найти \( AC \) с помощью тригонометрии

Так как:

\[ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3} \]

Используем теорему Пифагора для треугольника \( ABC \):

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 45^2 = AC^2 + 30^2 \] \[ 2025 = AC^2 + 900 \] \[ AC^2 = 2025 - 900 = 1125 \]

Следовательно:

\[ AC = \sqrt{1125} = \sqrt{25 \times 45} = 5 \sqrt{45} = 5 \times 3 \sqrt{5} = 15 \sqrt{5} \]

---

Шаг 4. Нахождение точки \( N \) — основания высоты \( СН \)

Высота из \( C \) опустилась на гипотенузу \( AB \). В прямом треугольнике высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу на два отрезка, \( AN \) и \( NB \):

\[ AN \times NB = \text{площадь } \triangle ABC \]

Площадь \( \triangle ABC \):

\[ S = \frac{1}{2} \times BC \times AC = \frac{1}{2} \times 30 \times 15 \sqrt{5} = 15 \times 15 \sqrt{5} = 225 \sqrt{5} \]

---

Шаг 5. Использование свойства высоты в прямоугольном треугольнике

В прямом треугольнике высота, проведённая из гипотенузы на катет, делит гипотенузу такую, что:

\[ AN = \frac{BC^2}{AB} \quad \text{и} \quad NB = \frac{AC^2}{AB} \]

или более универсально:

\[ AN = \frac{AC^2}{AB} \quad \text{и} \quad NB = \frac{BC^2}{AB} \]

Проверим:

\[ AN = \frac{AC^2}{AB} = \frac{1125}{45} = 25 \]

\[ NB = \frac{BC^2}{AB} = \frac{900}{45} = 20 \]

Проверим сумму:

\[ AN + NB = 25 + 20 = 45 = AB \]

Это верно, значит точка \( N \) делит \( AB \) на отрезки:

• \( AN = 25 \)
• \( NB = 20 \)

---

Ответ:

Длина отрезка \( BN \) равна 20.

---

Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснение более подробно — скажите!