В треугольнике АВС угол С равен 90° , СН-высота, АВ=45, sinA=2/3 . найдите длину отрезка ВН

Давайте рассмотрим задачу поэтапно и подробно. В условии дан треугольник \( ABC \), в котором угол \( C \) равен \( 90^\circ \). Известно, что \( AB = 45 \), \( \sin A = \frac{2}{3} \), и нужно найти длину отрезка \( BN \), где \( N \) — точка, в которой высота из \( C \) падает на сторону \( AB \). --- ### Шаг 1. Постановка задачи и важные данные - \( \triangle ABC \), с прямым углом \( C \) (\( \angle C = 90^\circ \)) - \( AB \) — гипотенуза, равна 45 - \( \sin A = \frac{2}{3} \) - \( СН \) — высота, опущенная из \( C \) на \( AB \) - Нужно найти \( BN \) --- ### Шаг 2. Построение и использование геометрических свойств Поскольку: - \( \triangle ABC \) — прямоугольный, \( C \) — прямой угол - \( \angle A \) — острый угол, против него — катет \( BC \) - \( \angle B \) — острый угол, против него — катет \( AC \) Известно, что: \[ \sin A = \frac{\text{прилежащий катет к углу }A}{гипотенуза} = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{3} \] Следовательно: \[ BC = \frac{2}{3} \times AB = \frac{2}{3} \times 45 = 30 \] --- ### Шаг 3. Найти \( AC \) с помощью тригонометрии Так как: \[ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3} \] Используем теорему Пифагора для треугольника \( ABC \): \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим известные значения: \[ 45^2 = AC^2 + 30^2 \] \[ 2025 = AC^2 + 900 \] \[ AC^2 = 2025 - 900 = 1125 \] Следовательно: \[ AC = \sqrt{1125} = \sqrt{25 \times 45} = 5 \sqrt{45} = 5 \times 3 \sqrt{5} = 15 \sqrt{5} \] --- ### Шаг 4. Нахождение точки \( N \) — основания высоты \( СН \) Высота из \( C \) опустилась на гипотенузу \( AB \). В прямом треугольнике высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу на два отрезка, \( AN \) и \( NB \): \[ AN \times NB = \text{площадь } \triangle ABC \] Площадь \( \triangle ABC \): \[ S = \frac{1}{2} \times BC \times AC = \frac{1}{2} \times 30 \times 15 \sqrt{5} = 15 \times 15 \sqrt{5} = 225 \sqrt{5} \] --- ### Шаг 5. Использование свойства высоты в прямоугольном треугольнике В прямом треугольнике высота, проведённая из гипотенузы на катет, делит гипотенузу такую, что: \[ AN = \frac{BC^2}{AB} \quad \text{и} \quad NB = \frac{AC^2}{AB} \] или более универсально: \[ AN = \frac{AC^2}{AB} \quad \text{и} \quad NB = \frac{BC^2}{AB} \] Проверим: \[ AN = \frac{AC^2}{AB} = \frac{1125}{45} = 25 \] \[ NB = \frac{BC^2}{AB} = \frac{900}{45} = 20 \] Проверим сумму: \[ AN + NB = 25 + 20 = 45 = AB \] Это верно, значит точка \( N \) делит \( AB \) на отрезки: - \( AN = 25 \) - \( NB = 20 \) --- ### **Ответ:** Длина отрезка \( BN \) равна **20**. --- Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснение более подробно — скажите!