Давайте решим задачу по шагам.
Дано:
- Расстояние между пунктами: ( 34,!5 \text{ км} )
- До встречи велосипедист проехал ( \frac{5}{18} ) пути мотоциклиста
- Скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста на ( 32,!5 \text{ км/ч} )
Обозначим:
- ( v_v ) — скорость велосипедиста (км/ч)
- ( v_m ) — скорость мотоциклиста (км/ч)
По условию:
[
v_m = v_v + 32,!5
]
Пусть:
- ( t ) — время в пути до встречи (часы)
Отметим, что оба начали движение одновременно и встретились. Тогда расстояния, пройденные ими, связаны со временем следующими уравнениями:
Расстояние, пройденное велосипедистом:
[
d_v = v_v \times t
]
Расстояние, пройденное мотоциклистом:
[
d_m = v_m \times t
]
Общая сумма пройденных расстояний равна всему пути:
[
d_v + d_m = 34,!5 \text{ км}
]
Также известно, что до встречи велосипедист прошёл (\frac{5}{18}) от пути мотоциклиста:
[
d_v = \frac{5}{18} d_m
]
Подставим ( d_v = v_v t ) и ( d_m = v_m t ):
[
v_v t = \frac{5}{18} v_m t
]
Так как ( t \neq 0 ), делим обе части на ( t ):
[
v_v = \frac{5}{18} v_m
]
Но ( v_m = v_v + 32,!5 ), значит:
[
v_v = \frac{5}{18} (v_v + 32,!5)
]
Раскроем скобки:
[
v_v = \frac{5}{18} v_v + \frac{5}{18} \times 32,!5
]
Вычтем ( \frac{5}{18} v_v ) из обеих частей:
[
v_v - \frac{5}{18} v_v = \frac{5}{18} \times 32,!5
]
В левой части выделим ( v_v ):
[
v_v \left( 1 - \frac{5}{18} \right) = \frac{5}{18} \times 32,!5
]
Найдем разность внутри скобок:
[
1 - \frac{5}{18} = \frac{18}{18} - \frac{5}{18} = \frac{13}{18}
]
Итак:
[
v_v \times \frac{13}{18} = \frac{5}{18} \times 32,!5
]
Вычислим правую часть:
[
\frac{5}{18} \times 32,!5 = \frac{5 \times 32,!5}{18} = \frac{162.5}{18}
]
Разделим:
[
\frac{162.5}{18} \approx 9.02778
]
Теперь выражение для ( v_v ):
[
v_v \times \frac{13}{18} = 9.02778
]
Найдём ( v_v ):
[
v_v = 9.02778 \times \frac{18}{13} = 9.02778 \times \frac{18}{13}
]
Посчитаем:
[
\frac{18}{13} \approx 1.3846
]
Тогда:
[
v_v \approx 9.02778 \times 1.3846 \approx 12.5 \text{ км/ч}
]
Теперь найдём скорость мотоциклиста:
[
v_m = v_v + 32,!5 = 12.5 + 32.5 = 45 \text{ км/ч}
]
Теперь найдём время ( t ):
Пусть ( d_v = v_v t ), тогда:
[
d_v = 12.5 t
]
А также:
[
d_m = v_m t = 45 t
]
Общая дистанция:
[
d_v + d_m = 34,!5
]
Подставим:
[
12.5 t + 45 t = 34,!5
]
Сложим:
[
(12.5 + 45) t = 34,!5
]
[
57.5 t = 34,!5
]
Найдём ( t ):
[
t = \frac{34,!5}{57.5}
]
Выполним деление:
[
t \approx 0.6 \text{ часа}
]
Ответ: Мотоциклист был в пути примерно 0,6 часов (или 36 минут).
Если есть дополнительные вопросы или нужно подробнее — обращайтесь!
