Алгебра

Конечно, я помогу вам разобрать задачи по алгебре, приведённые на этом листе. Давайте по порядку: --- ### Задача 1: Упростите выражения **a)** \(\frac{x^2}{x^4}\) - Вынесите степени с одинаковым основанием: \(\frac{x^2}{x^4} = x^{2-4} = x^{-2}\) - Обычно, отрицательная степень означает, что выражение в знаменателе: \(\frac{1}{x^2}\). **Ответ:** \(\frac{1}{x^2}\). --- **b)** \(\frac{\frac{a^2}{a^3}}{\frac{b^2}{b^3}}\) - Внутри дробей делаем: \(\frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1}\), - Аналогично: \(\frac{b^2}{b^3} = b^{2-3} = b^{-1}\), - Тогда выражение выглядит как \(\frac{a^{-1}}{b^{-1}}\), - Деление с одинаковыми основаниями: \(\frac{a^{-1}}{b^{-1}} = a^{-1} \cdot b^{1} = \frac{b}{a}\). **Ответ:** \(\frac{b}{a}\). --- **c)** \(\frac{\frac{3a^2}{2b}} - \frac{a^2}{25b^2}\) - Раскроем каждое выражение: - \(\frac{3a^2}{2b}\) — оставить как есть, - \( \frac{a^2}{25b^2}\) — оставить как есть. - Чтобы их вычесть, нужно привести к общему знаменателю: \(50b^2\). Перепишем: \[ \frac{3a^2 \cdot 25b}{50b^2} = \frac{75a^2 b}{50b^2} \] \[ \frac{a^2 \cdot 2}{50b^2} = \frac{2a^2}{50b^2} \] Теперь вычитаем: \[ \frac{75a^2 b - 2a^2}{50b^2} \] − Можно вынести \(a^2\): \[ \frac{a^2 (75b - 2)}{50b^2} \] **Ответ:** \(\frac{a^2(75b - 2)}{50b^2}\). --- ### Задача 2: Привести выражение к более простому виду \[ \sqrt[4]{6 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{\sqrt{10} + \sqrt{5}} \] - Заметим, что \(\sqrt[4]{A}\) — это \(A^{1/4}\). Общий вид: \[ (6 + \sqrt{3})^{1/4} \cdot (\sqrt{10} + \sqrt{5})^{1/4} \] - Можно объединить под один показатель степени: \[ \left[(6 + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{10} + \sqrt{5})\right]^{1/4} \] Вычислим произведение: \[ (6 + \sqrt{3}) (\sqrt{10} + \sqrt{5}) \] Раскроем скобки: \[ 6 \cdot \sqrt{10} + 6 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{10} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \] Это: \[ 6 \sqrt{10} + 6 \sqrt{5} + \sqrt{30} + \sqrt{15} \] Так как внутри радикалов нет простого упрощения, то это и есть окончательный ответ. **Ответ:** \[ \left(6 \sqrt{10} + 6 \sqrt{5} + \sqrt{30} + \sqrt{15}\right)^{1/4} \] --- ### Задача 3: Решите уравнения а) \(5x^2 + 14x - 3 = 0\) - Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256 \] - Тогда корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 \pm 16}{2 \cdot 5} \] Находим: \[ x_1 = \frac{-14 + 16}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \] \[ x_2 = \frac{-14 - 16}{10} = \frac{-30}{10} = -3 \] **Ответ:** \(x = \frac{1}{5}\) или \(x = -3\). --- б) \(5x - 3x^2 = 0\) - Переносим всё в одну сторону: \[ -3x^2 + 5x = 0 \] - Вынесем \(x\): \[ x(-3x + 5) = 0 \] - Значит, корни: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad -3x + 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{3} \] **Ответ:** \(x=0\) или \(x=\frac{5}{3}\). --- в) \(48x^2 - 12 = 0\) - Решим: \[ 48x^2 = 12 \] \[ x^2 = \frac{12}{48} = \frac{1}{4} \] \[ x = \pm \frac{1}{2} \] **Ответ:** \(x = \pm \frac{1}{2}\). --- ### Задача 4: Решите задачу (раздел 4). *Задание связано с условиями: "Модель ароморабоки при полном заполнении содержат 250 мл. Найдите объем прямоугольного контура, если он по форме и размерам равен 9,4м."* Это, вероятно, условное описание, и без дополняющих данных сложно понять полностью. Однако, если обратимся к типовой задаче, то, скорее всего, речь идет о вычислении объема или площади. --- ### Задача 5: Решите систему неравенств \[ \begin{cases} 3(x-1) - 2(1 + x) < 1 \\ 3x - 4 \geq 0 \end{cases} \] Рассмотрим каждое: **Первое неравенство:** \[ 3x - 3 - 2 - 2x < 1 \] \[ (3x - 2x) + (-3 - 2) < 1 \] \[ x - 5 < 1 \] \[ x < 6 \] **Второе:** \[ 3x - 4 \geq 0 \Rightarrow 3x \geq 4 \Rightarrow x \geq \frac{4}{3} \] Объединение условий: \[ x \geq \frac{4}{3} \quad и \quad x < 6 \] **Ответ:** \[ x \in \left[\frac{4}{3}, 6\right) \] --- Если вам нужно что-то дополнительно — спрашивайте!