Алгебра
Конечно, я помогу вам разобрать задачи по алгебре, приведённые на этом листе. Давайте по порядку:
Задача 1: Упростите выражения
a) \(\frac{x^2}{x^4}\)
- Вынесите степени с одинаковым основанием: \(\frac{x^2}{x^4} = x^{2-4} = x^{-2}\)
- Обычно, отрицательная степень означает, что выражение в знаменателе: \(\frac{1}{x^2}\).
Ответ: \(\frac{1}{x^2}\).
b) \(\frac{\frac{a^2}{a^3}}{\frac{b^2}{b^3}}\)
- Внутри дробей делаем: \(\frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1}\),
- Аналогично: \(\frac{b^2}{b^3} = b^{2-3} = b^{-1}\),
- Тогда выражение выглядит как \(\frac{a^{-1}}{b^{-1}}\),
- Деление с одинаковыми основаниями: \(\frac{a^{-1}}{b^{-1}} = a^{-1} \cdot b^{1} = \frac{b}{a}\).
Ответ: \(\frac{b}{a}\).
c) \(\frac{\frac{3a^2}{2b}} - \frac{a^2}{25b^2}\)
- Раскроем каждое выражение:
- \(\frac{3a^2}{2b}\) — оставить как есть,
- \( \frac{a^2}{25b^2}\) — оставить как есть.
- Чтобы их вычесть, нужно привести к общему знаменателю: \(50b^2\).
Перепишем: \[ \frac{3a^2 \cdot 25b}{50b^2} = \frac{75a^2 b}{50b^2} \] \[ \frac{a^2 \cdot 2}{50b^2} = \frac{2a^2}{50b^2} \]
Теперь вычитаем: \[ \frac{75a^2 b - 2a^2}{50b^2} \]
− Можно вынести \(a^2\): \[ \frac{a^2 (75b - 2)}{50b^2} \]
Ответ: \(\frac{a^2(75b - 2)}{50b^2}\).
Задача 2: Привести выражение к более простому виду
\[ \sqrt[4]{6 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{\sqrt{10} + \sqrt{5}} \]
- Заметим, что \(\sqrt[4]{A}\) — это \(A^{1/4}\).
Общий вид: \[ (6 + \sqrt{3})^{1/4} \cdot (\sqrt{10} + \sqrt{5})^{1/4} \]
- Можно объединить под один показатель степени: \[ \left[(6 + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{10} + \sqrt{5})\right]^{1/4} \]
Вычислим произведение: \[ (6 + \sqrt{3}) (\sqrt{10} + \sqrt{5}) \]
Раскроем скобки: \[ 6 \cdot \sqrt{10} + 6 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{10} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \]
Это: \[ 6 \sqrt{10} + 6 \sqrt{5} + \sqrt{30} + \sqrt{15} \]
Так как внутри радикалов нет простого упрощения, то это и есть окончательный ответ.
Ответ:
\[ \left(6 \sqrt{10} + 6 \sqrt{5} + \sqrt{30} + \sqrt{15}\right)^{1/4} \]
Задача 3: Решите уравнения
а) \(5x^2 + 14x - 3 = 0\)
- Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256 \]
- Тогда корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 \pm 16}{2 \cdot 5} \]
Находим: \[ x_1 = \frac{-14 + 16}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \] \[ x_2 = \frac{-14 - 16}{10} = \frac{-30}{10} = -3 \]
Ответ: \(x = \frac{1}{5}\) или \(x = -3\).
б) \(5x - 3x^2 = 0\)
- Переносим всё в одну сторону: \[ -3x^2 + 5x = 0 \]
- Вынесем \(x\): \[ x(-3x + 5) = 0 \]
- Значит, корни: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad -3x + 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{3} \]
Ответ: \(x=0\) или \(x=\frac{5}{3}\).
в) \(48x^2 - 12 = 0\)
- Решим: \[ 48x^2 = 12 \] \[ x^2 = \frac{12}{48} = \frac{1}{4} \] \[ x = \pm \frac{1}{2} \]
Ответ: \(x = \pm \frac{1}{2}\).
Задача 4: Решите задачу (раздел 4).
Задание связано с условиями: "Модель ароморабоки при полном заполнении содержат 250 мл. Найдите объем прямоугольного контура, если он по форме и размерам равен 9,4м."
Это, вероятно, условное описание, и без дополняющих данных сложно понять полностью. Однако, если обратимся к типовой задаче, то, скорее всего, речь идет о вычислении объема или площади.
Задача 5: Решите систему неравенств
\[ \begin{cases} 3(x-1) - 2(1 + x) < 1 \\ 3x - 4 \geq 0 \end{cases} \]
Рассмотрим каждое:
Первое неравенство: \[ 3x - 3 - 2 - 2x < 1 \] \[ (3x - 2x) + (-3 - 2) < 1 \] \[ x - 5 < 1 \] \[ x < 6 \]
Второе: \[ 3x - 4 \geq 0 \Rightarrow 3x \geq 4 \Rightarrow x \geq \frac{4}{3} \]
Объединение условий: \[ x \geq \frac{4}{3} \quad и \quad x < 6 \]
Ответ: \[ x \in \left[\frac{4}{3}, 6\right) \]
Если вам нужно что-то дополнительно — спрашивайте!
