№ 3. Высота BD треугольника АВС делит его сторону АC на отрезки AD и CD. Найдите сторону ВС, если АВ = 4√6 см, CD = 3 CM,ABD = 30°

Для решения задачи нужно выполнить несколько шагов, чтобы найти сторону ВС, исходя из данных: - Высота BD, опускающаяся из вершины B на сторону AC, делит AC на отрезки AD и CD. - Дано: AB = 4√6 см. - CD = 3 см. - Угол ∠ABD = 30°. Рассмотрим поэтапный подход: ### Шаг 1: Введение обозначений Обозначим: - АК = x (часть отрезка AC, которая включает AD), - AC = AD + CD = x + 3 см. Выделим треугольник ABC, где BD — высота, опущенная из B на AC, и делит AC на два отрезка: AD и CD. ### Шаг 2: Анализ высоты BD Так как BD — высота, она перпендикулярна к AC, и BD делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника: - ABD и CBD. Из условия: угол ∠ABD = 30°, и AB = 4√6. Поскольку ∠ABD — это угол между стороной AB и высотой BD, и BD — высота, то: - В треугольнике ABD угол ∠ABD = 30°, простым образом можем определить длину отрезка AD через сторону AB и угол. ### Шаг 3: Определение отношения В треугольнике ABD, где есть угол 30°, применим тригонометрию: - В треугольнике ABD: \(\sin 30° = \frac{BD}{AB}\) Известно, что \(\sin 30° = 0.5\), следовательно: \[ BD = AB \times \sin 30° = 4\sqrt{6} \times 0.5 = 2\sqrt{6} \] ### Шаг 4: Находим длину AD Также в треугольнике ABD: \[ \cos 30° = \frac{AD}{AB} \] где \(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Тогда: \[ AD = AB \times \cos 30° = 4\sqrt{6} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{6} \times \sqrt{3} \] Вычислим: \[ 2\sqrt{6} \times \sqrt{3} = 2 \times \sqrt{6} \times \sqrt{3} = 2 \times \sqrt{6 \times 3} = 2 \times \sqrt{18} = 2 \times 3 \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \] Таким образом: \[ AD = 6\sqrt{2} \text{ см} \] --- ### Шаг 5: Найти длину AC Длина AC = AD + CD = \(6\sqrt{2} + 3\). Это — полная длина стороны AC. ### Шаг 6: Вычисление стороны BC Теперь найдем сторону BC. Для этого в треугольнике ABC применим теорему Пифагора, учитывая что высота BD опущена из B и разбила AC на части. Рассмотрим треугольник CBD: - BD = \(2\sqrt{6}\), - CD = 3 см, - угол ∠CBD — 90°, потому что BD — высота. Чтобы найти BC, рассмотрим треугольник ABC как комбинацию двух прямых треугольников ABD и CBD. - В треугольнике ABD: \[ AB = 4\sqrt{6}\ \text{(дано)}, \] - В треугольнике CBD: \[ BC\) — искомая сторона. Используем для нахождения BC: \[ BC^2 = BD^2 + CD^2 \] Подставляем значения: \[ BC^2 = (2\sqrt{6})^2 + 3^2 = (4 \times 6) + 9 = 24 + 9 = 33 \] следовательно: \[ BC = \sqrt{33} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{BC = \sqrt{33}\ \text{см}} \] Это и есть искомая сторона.