№ 3. Высота BD треугольника АВС делит его сторону АC на отрезки AD и CD. Найдите сторону ВС, если АВ = 4√6 см, CD = 3 CM,ABD = 30°
Для решения задачи нужно выполнить несколько шагов, чтобы найти сторону ВС, исходя из данных:
- Высота BD, опускающаяся из вершины B на сторону AC, делит AC на отрезки AD и CD.
- Дано: AB = 4√6 см.
- CD = 3 см.
- Угол ∠ABD = 30°.
Рассмотрим поэтапный подход:
Шаг 1: Введение обозначений
Обозначим:
- АК = x (часть отрезка AC, которая включает AD),
- AC = AD + CD = x + 3 см.
Выделим треугольник ABC, где BD — высота, опущенная из B на AC, и делит AC на два отрезка: AD и CD.
Шаг 2: Анализ высоты BD
Так как BD — высота, она перпендикулярна к AC, и BD делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника:
- ABD и CBD.
Из условия: угол ∠ABD = 30°, и AB = 4√6.
Поскольку ∠ABD — это угол между стороной AB и высотой BD, и BD — высота, то:
- В треугольнике ABD угол ∠ABD = 30°,
простым образом можем определить длину отрезка AD через сторону AB и угол.
Шаг 3: Определение отношения
В треугольнике ABD, где есть угол 30°, применим тригонометрию:
- В треугольнике ABD:
\(\sin 30° = \frac{BD}{AB}\)
Известно, что \(\sin 30° = 0.5\),
следовательно: \[ BD = AB \times \sin 30° = 4\sqrt{6} \times 0.5 = 2\sqrt{6} \]
Шаг 4: Находим длину AD
Также в треугольнике ABD:
\[
\cos 30° = \frac{AD}{AB}
\]
где \(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Тогда: \[ AD = AB \times \cos 30° = 4\sqrt{6} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{6} \times \sqrt{3} \]
Вычислим: \[ 2\sqrt{6} \times \sqrt{3} = 2 \times \sqrt{6} \times \sqrt{3} = 2 \times \sqrt{6 \times 3} = 2 \times \sqrt{18} = 2 \times 3 \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \]
Таким образом: \[ AD = 6\sqrt{2} \text{ см} \]
Шаг 5: Найти длину AC
Длина AC = AD + CD = \(6\sqrt{2} + 3\).
Это — полная длина стороны AC.
Шаг 6: Вычисление стороны BC
Теперь найдем сторону BC.
Для этого в треугольнике ABC применим теорему Пифагора, учитывая что высота BD опущена из B и разбила AC на части.
Рассмотрим треугольник CBD:
- BD = \(2\sqrt{6}\),
- CD = 3 см,
- угол ∠CBD — 90°, потому что BD — высота.
Чтобы найти BC, рассмотрим треугольник ABC как комбинацию двух прямых треугольников ABD и CBD.
- В треугольнике ABD:
\[ AB = 4\sqrt{6}\ \text{(дано)}, \] - В треугольнике CBD:
\[ BC\) — искомая сторона. Используем для нахождения BC: \[ BC^2 = BD^2 + CD^2 \]
Подставляем значения: \[ BC^2 = (2\sqrt{6})^2 + 3^2 = (4 \times 6) + 9 = 24 + 9 = 33 \] следовательно: \[ BC = \sqrt{33} \]
Ответ:
\[ \boxed{BC = \sqrt{33}\ \text{см}} \]
Это и есть искомая сторона.
