Апофема правильной четырехугольной пирамиды Sabcd равна 8,радиус описанной около основания окружности равен 3. Найдите косинус двугранного угла при основании пирамиды.
Давайте подробно решим задачу по шагам, чтобы понять, как найти косинус двугранного угла при основании правильной четырехугольной пирамиды Sabcd.
Дано:
- Апофема пирамиды \( s_{ap} = 8 \)
- Радиус описанной окружности вокруг основания \( R = 3 \)
- Основание — правильная четырехугольная пирамида (стандартная квадратная пирамеда)
Требуется:
- Найти косинус двугранного угла при основании \( \cos \angle (S; ABCD) \).
Шаг 1: Понимание и схема
Правильная четырёхугольная пирамида:
- Основание — квадрат со стороной \( a \).
- Точка \( S \) — вершина пирамиды, расположенная перпендикулярно к центру основания.
Двугранный угол при основании — это угол между плоскостями стороны боковой грани, например, \( SAB \), и основания \( ABCD \).
Шаг 2: Связь апофемы и высоты боковой грани
Апофема — это высота боковой грани, проведенная из вершины боковой грани к середине её основания.
В случае правильной пирамиды:
- Боковая грань — треугольник \( SAB \)
- Апофема (высота боковой грани) — \( s_{ap} = 8 \)
- Центр основания — \( O \)
- Центр квадрата — \( O \)
Известно, что апофема — это отрезок, проведенный из вершины боковой грани \( S \) к середине основания стороны, перпендикулярно к базе.
Важная часть:
- Апофема высота боковой грани относительно основания.
- В случае правильной пирамиды апофема равна высоте боковой грани, опущенной из \( S \) в середину одного из рёбер основания.
Шаг 3: Определим сторону основания \( a \)
Радиус описанной окружности \( R \) вокруг основания квадрата связан со стороной квадрата: \[ R = \frac{a}{\sqrt{2}} \] потому что описанная окружность квадрата радиуса равна \(\frac{a}{\sqrt{2}}\).
Дано: \( R=3 \)
Тогда: \[ a = R \times \sqrt{2} = 3 \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \]
Шаг 4: Найдём высоту \( S \) (высоту пирамиды)
Обозначим:
- \( h \) — высота пирамиды (расстояние от вершины \( S \) до основания)
- \( O \) — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата)
Известно, что:
- Апофема боковой грани = 8
- Апофема — это высота боковой грани (треугольник \( SAB \))
Фигура:
- В треугольнике \( SAB \):
- \( S \) — вершина
- \( A, B \) — точки основания, \( A \) и \( B \) — соседние вершины основания
Чтобы найти высоту \( h \), используем апофему.
В треугольнике \( SAB \):
- Люлька апофемы — это высота боковой грани, проведённая через середину основания стороны \( AB \).
Это значит, что апофема \( s_{ap} = 8 \) равна высоте боковой грани — расстоянию от \( S \) до линии, проходящей через середины рёбер основания \( AB \).
Обозначим:
- \( M \) — середина \( AB \)
- \( OM \) — расстояние от центра основания \( O \) до середины стороны \( AB \)
Поскольку сторона \( a = 3\sqrt{2} \), то:
\[ OM = \frac{a}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \]
Шаг 5: Есть апофема, найдем высоту \( h \)
Рассмотрим треугольник \( SOM \):
- \( SO \) — вертикальна высота пирамиды \( h \)
- \( OM \) — горизонтальное расстояние
- \( S \) — вершина, \( O \) — центр основания, \( M \) — середина стороны
В правом треугольнике \( SOM \): \[ s_{ap}^2 = h^2 + OM^2 \] где \( s_{ap} = 8 \) и \( OM = \frac{3\sqrt{2}}{2} \).
Подставим: \[ 8^2 = h^2 + \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 \] \[ 64 = h^2 + \frac{(3\sqrt{2})^2}{4} \] \[ (3\sqrt{2})^2 = 3^2 \times 2 = 9 \times 2 = 18 \] Тогда: \[ 64 = h^2 + \frac{18}{4} = h^2 + 4.5 \] \[ h^2 = 64 - 4.5 = 59.5 \] \[ h = \sqrt{59.5} \]
Шаг 6: Определим двугранный угол \(\angle (S; ABCD)\)
Двугранный угол — это угол между плоскостью боковой грани, например \( S A B \), и плоскостью основания \( ABCD \).
Обозначим:
- Вектор, перпендикулярный к плоскости основания — направление вверх, \( \vec{n}_0 \sim \vec{k} \)
- Вектор, нормальный к боковой поверхности \( SAB \), \( \vec{n}_1 \)
Чтобы найти \( \cos \angle \), применяем:
\[ \cos \theta = \frac{ |\vec{n}_0 \cdot \vec{n}_1| }{ |\vec{n}_0| |\vec{n}_1| } \]
Но проще понять:
Двугранный угол — это угол между нормалями плоскостей. Нормаль основания — вертикальная и равна \( \vec{n}_0 = (0,0,1) \).
Для боковой грани возьмем три точки:
- \( S (0,0,h) \)
- \( A \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \)
- \( B \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \)
Вектор \( \vec{SA} = A - S = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -h \right) \)
Вектор \( \vec{SB} = B - S = \left( -\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -h \right) \)
Нормаль к плоскости \( SAB \): \[ \vec{n}_1 = \vec{SA} \times \vec{SB} \]
Вычислим \( \vec{n}_1 \):
\[ \vec{n}_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{a}{2} & \frac{a}{2} & -h \\ -\frac{a}{2} & \frac{a}{2} & -h \\ \end{vmatrix} \]
Расчёт:
Компонент \( i \): \[ \left( \frac{a}{2} \times -h \right) - \left( -h \times \frac{a}{2} \right) = -\frac{a h}{2} + \frac{a h}{2} = 0 \]
Компонент \( j \): \[ - \left( \frac{a}{2} \times -h - (-h \times -\frac{a}{2}) \right) = - \left( -\frac{a h}{2} - \frac{a h}{2} \right) = - \left( -a h \right) = a h \]
Компонент \( k \): \[ \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \times -\frac{a}{2} = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2} \]
Итак,
\[ \vec{n}_1 = (0, a h, \frac{a^2}{2}) \]
Модуль \( |\vec{n}_1| \):
\[ |\vec{n}_1| = \sqrt{0^2 + (a h)^2 + \left(\frac{a^2}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 h^2 + \frac{a^4}{4}} \]
Далее, нормаль к основанию — вертикаль, \( (0,0,1) \).
Склонность к уголку:
\[ \cos \theta = \frac{ |\vec{n}_0 \cdot \vec{n}_1| }{ |\vec{n}_0| |\vec{n}_1| } \]
\[ \vec{n}_0 = (0, 0, 1) \] Отсюда:
\[ \vec{n}_0 \cdot \vec{n}_1 = \frac{a^2}{2} \] \[ |\vec{n}_0|=1 \] \[ |\vec{n}_1|= \sqrt{a^2 h^2 + \frac{a^4}{4}} \]
Итак,
\[ \boxed{ \cos \angle = \frac{\frac{a^2}{2}}{\sqrt{a^2 h^2 + \frac{a^4}{4}}} } \]
Выразим:
\[ \cos \angle = \frac{\frac{a^2}{2}}{\sqrt{a^2 h^2 + \frac{a^4}{4}}} \]
Вынесем \( a^2 \) за скобки в знаменателе:
\[ \sqrt{a^2 h^2 + \frac{a^4}{4}} = a \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}} \]
Следовательно,
\[ \cos \angle = \frac{\frac{a^2}{2}}{a \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}} = \frac{a/2}{\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}} \]
Подставим \( a=3\sqrt{2} \):
\[ a/2 = \frac{3\sqrt{2}}{2} \]
И \( \frac{a^2}{4} \):
\[ a^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18 \] \[ \frac{a^2}{4} = \frac{18}{4} = 4.5 \]
Итак,
\[ \cos \angle = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{h^2 + 4.5}} \]
Также, мы нашли \( h^2 = 59.5 \).
Тогда:
\[ \cos \angle = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{59.5 + 4.5}} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{64}} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{8} \]
Упростим:
\[ \cos \angle = \frac{3\sqrt{2}}{2 \times 8} = \frac{3\sqrt{2}}{16} \]
Ответ:
\[ \boxed{ \cos \angle (S; ABCD) = \frac{3 \sqrt{2}}{16} } \]
Это — искомое значение косинуса двугранного угла при основании пирамиды.
