В равнобедренную трапецию вписана окружность. Средняя линия трапеции равна 46см. Найдите её периметр

Рассмотрим задачу. В равнобедренной трапеции вписана окружность, средняя линия равна 46 см. Нужно найти её периметр. Обозначения: - Пусть трапеция ABCD, где основания AB и CD — параллельны, а боковые стороны AD и BC — равны. - Средняя линия трапеции — это линия, соединяющая середины боковых сторон. - Пусть основания: \( AB = a \), \( CD = c \). - Высота трапеции: \( h \). ### Шаг 1: Свойства среднездной линии Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \[ m = \frac{a + c}{2} \] Дано, что средняя линия равна 46 см, значит: \[ \frac{a + c}{2} = 46 \implies a + c = 92 \] ### Шаг 2: Вписанная окружность и её свойства Поскольку трапеция — равнобедренная и в неё вписана окружность, то сумма длин катетов равна сумме оснований: \[ a + c = b + d \] где \( b = AD \) и \( d = BC \) — боковые стороны (равны между собой, так как трапеция равнобедренная): \[ b = d \] Также, для фигуры с вписанной окружностью, сумма противолежащих сторон равна: \[ AB + CD = AD + BC \] или \[ a + c = 2b \] (так как \( AD = BC = b \)). Из этого следует: \[ a + c = 2b \] Но мы уже получили, что \( a + c = 92 \), значит: \[ 2b = 92 \implies b = 46 \] ### Шаг 3: Найти высоту \( h \) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной разницы оснований и боковой стороной. Обозначим: \[ \frac{a - c}{2} = x \] Тогда высота \( h \) связана с боковой стороной \( b \) и \( x \) по теореме Пифагора: \[ b^2 = h^2 + x^2 \] или \[ h = \sqrt{b^2 - x^2} \] Поскольку основание \( a \), \( c \) — произвольные, и, в целом, их значения мы можем выразить через \( a + c = 92 \) и \( a - c \), нужно искать дополнительные связи. ### Шаг 4: Связь между боковой стороной и высотой Когда в трапеции вписана окружность и она равнобедренная, высота \( h \) — это перпендикуляр, соединяющий основания и делящий их на равные части при средней линии. Здесь важно отметить, что для вписанной окружности, в равнобедренной трапеции со среднеслой линией, боковая сторона \( b \) и высота \( h \) связаны геометрическими соотношениями. ### Шаг 5: Использование того, что известно о периметре Периметр трапеции: \[ P = a + c + 2b \] Из пункта 2: \( a + c = 92 \), а из предыдущих вычислений — \( b = 46 \). Значит, \[ P = 92 + 2 \times 46 = 92 + 92 = 184 \] ### Итог: **Периметр равен 184 см.** --- ### Ответ: **Периметр трапеции равен 184 см.**