В поступившей партии швейных машинок из 30 штук имеются 10 с дефектом. Какова вероятность того, что в партии из 5 машинок, взятых наугад, 3 будут без дефекта?

Давайте решим задачу шаг за шагом. **Дано:** - Общее количество машинок: \( N = 30 \) - Количество машинок с дефектом: \( D = 10 \) - Количество машинок без дефекта: \( N - D = 20 \) - Размер выборки: \( n = 5 \) - Нужно найти вероятность того, что в выбранной группе будет ровно 3 машинки без дефекта. --- ### Шаг 1: Определение условий Нам нужно, чтобы в группе из 5 машинок было ровно 3 без дефекта и, значит, оставшиеся 2 — с дефектом. ### Шаг 2: Использование гипергеометрической вероятности Вероятность равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных: \[ P = \frac{\text{число способов выбрать 3 без дефекта из 20}}{\text{число способов выбрать 5 машинок из 30}} \] с учётом, что для этого нужно выбрать ещё 2 машинки с дефектом из 10: \[ P = \frac{\binom{20}{3} \times \binom{10}{2}}{\binom{30}{5}} \] Где: - \(\binom{a}{b}\) — число сочетаний, то есть "выбрать \(b\) из \(a\)". ### Шаг 3: Вычисление сочетаний Рассчитаем каждое сочетание: \[ \binom{20}{3} = \frac{20!}{3! \times 17!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140 \] \[ \binom{10}{2} = \frac{10!}{2! \times 8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \] \[ \binom{30}{5} = \frac{30!}{5! \times 25!} = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \] Переведем числитель: \[ 30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \] и делитель: \[ 120 \] посчитаем числитель: \[ 30 \times 29 = 870 \\ 870 \times 28 = 24360 \\ 24360 \times 27 = 658920 \\ 658920 \times 26 = 17,113,920 \] Теперь делим: \[ \binom{30}{5} = \frac{17,113,920}{120} = 142,633 \] (подсчет показывает, что есть небольшая погрешность — правильное значение это обычно 142,506, вот точное значение) Вычислим более точно: \[ \binom{30}{5} = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26}{120} \] Числитель: \[ 30 \times 29 = 870 \\ 870 \times 28 = 24,360 \\ 24,360 \times 27 = 658,920 \\ 658,920 \times 26 = 17,113,920 \] Делим: \[ \frac{17,113,920}{120} = 142,633 \] Итак, \(\binom{30}{5} = 142,633\). --- ### Шаг 4: Расчет вероятности Теперь подставим: \[ P = \frac{1140 \times 45}{142,633} = \frac{51,300}{142,633} \approx 0.3599 \] --- ### **Ответ:** Вероятность того, что в случайной выборке из 5 машинок ровно 3 будут без дефекта, примерно равна **0,36** или **36%**.