В круговой сектор с центральным углом 120° вписана окружность радиуса а. найдите длину радиуса кругового сектора
Давайте решим задачу поэтапно и подробно, чтобы понять, как найти длину радиуса кругового сектора.
Дано:
- Центральный угол сектора: 120°
- Вписана окружность радиуса \(a\) внутри этого сектора
Задача:
- Найти длину радиуса этого сектора (обозначим её как \( R \))
Шаг 1: понять условие
В этой задаче важно понять, что означает "вписана окружность радиуса \(a\)" внутри сектора.
- Обычно, когда говорят, что разделённый на сектор круг "вписан" или "вписана окружность", имеют в виду окружность, которая касается обеих границ сектора, то есть касается радиальных линий и дуги сектора.
- В данном случае предполагается, что внутри сектора расположена окружность радиуса \(a\), касающаяся обеих радиальных линий сектора и дуги.
Шаг 2: рисунок
- Нарисуем круг с центром \(O\), радиус которого мы ищем — это \( R \).
- Внутри этого круга — меньшая окружность радиуса \(a\), касающаяся обеих радиальных линий этого сектора и дуги.
- Центральный угол сектора: 120°, раскидывается из точки \(O\).
Шаг 3: анализ касаний
Обозначим:
- Центр меньшей окружности — \(C\),
- Радиус меньшей окружности — \(a\).
Меньшая окружность касательна к двум радиальным линиям сектора и к дуге, то есть:
- Расстояние от центра \(O\) до центра \(C\) — это \( R - a \),
- Центр \(C\) лежит посередине между двумя радиальными линиями, так как окружность касается обеих сразу.
Шаг 4: положение меньшей окружности
Поскольку меньшая окружность касается обеих радиальных линий, то её центр \(C\):
- Расположен на bisсекторе угла сектора, то есть по внутренней биссектрисе сектора,
- Расстояние от \(C\) до любой радиальной линии равно \(a\).
Положим:
- Угол при вершине \(O\): 120°,
- Биссектриса делит угол на два равных по 60°.
Расстояние от \(C\) до обеих радиальных линий равно \(a\). Следовательно, центр \(C\) находится на расстоянии:
\[ d = R - a \]
от центра \(O\).
По сути, это — радиус, проведённый из \(O\) до центра \(C\), и он соединяет \(O\) с \(C\).
Шаг 5: вычисление \( R \) — радиуса сектора
Далее, рассматриваем треугольник:
- \(O\),
- \(C\), центр малой окружности,
- и точку касания — точки, где окружность касается радиальных линий.
Поскольку \(C\) лежит на bisсектрисе,
- расстояние от \(O\) до \(C\): \(d = R - a\),
- угол при вершине \(O\): \(120^\circ\),
- угол между линиями касания: \(60^\circ\) (так как bisсекриса делит угол пополам).
Практически, \(C\) расположена по внутренней bisсектрисе уголка 120°, то есть у неё:
\[ \text{расстояние} = d = (R - a), \]
а радиус касания — \(a\).
Шаг 6: вывод
Из аналитической геометрии, для окружности, расположенной внутри сектора и касающейся обеих радиальных линий уголка 120°, радиус \(a\) связан с радиусом сектора \(R\) следующим образом:
\[ a = (R) \times \sin\left(\frac{\theta}{2}\right), \]
где \(\theta = 120^\circ\).
Подставим:
\[ a = R \times \sin(60^\circ), \]
и известно:
\[ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}. \]
Следовательно,
\[ a = R \times \frac{\sqrt{3}}{2}. \]
Выразим \( R \):
\[ R = \frac{2a}{\sqrt{3}}. \]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Радиус сектора } R = \frac{2a}{\sqrt{3}}. } \]
Это — искомое решение, показывающее, как радиус сектора зависит от радиуса вписанной окружности.
