В круговой сектор с центральным углом 120° вписана окружность радиуса а. найдите длину радиуса кругового сектора

Давайте решим задачу поэтапно и подробно, чтобы понять, как найти длину радиуса кругового сектора. **Дано:** - Центральный угол сектора: 120° - Вписана окружность радиуса \(a\) внутри этого сектора **Задача:** - Найти длину радиуса этого сектора (обозначим её как \( R \)) --- ### Шаг 1: понять условие В этой задаче важно понять, что означает "вписана окружность радиуса \(a\)" внутри сектора. - Обычно, когда говорят, что разделённый на сектор круг "вписан" или "вписана окружность", имеют в виду окружность, которая касается обеих границ сектора, то есть касается радиальных линий и дуги сектора. - В данном случае предполагается, что внутри сектора расположена окружность радиуса \(a\), касающаяся обеих радиальных линий сектора и дуги. ### Шаг 2: рисунок - Нарисуем круг с центром \(O\), радиус которого мы ищем — это \( R \). - Внутри этого круга — меньшая окружность радиуса \(a\), касающаяся обеих радиальных линий этого сектора и дуги. - Центральный угол сектора: 120°, раскидывается из точки \(O\). ### Шаг 3: анализ касаний Обозначим: - Центр меньшей окружности — \(C\), - Радиус меньшей окружности — \(a\). Меньшая окружность касательна к двум радиальным линиям сектора и к дуге, то есть: - Расстояние от центра \(O\) до центра \(C\) — это \( R - a \), - Центр \(C\) лежит посередине между двумя радиальными линиями, так как окружность касается обеих сразу. ### Шаг 4: положение меньшей окружности Поскольку меньшая окружность касается обеих радиальных линий, то её центр \(C\): - Расположен на bisсекторе угла сектора, то есть по внутренней биссектрисе сектора, - Расстояние от \(C\) до любой радиальной линии равно \(a\). **Положим:** - Угол при вершине \(O\): 120°, - Биссектриса делит угол на два равных по 60°. Расстояние от \(C\) до обеих радиальных линий равно \(a\). Следовательно, центр \(C\) находится на расстоянии: \[ d = R - a \] от центра \(O\). По сути, это — радиус, проведённый из \(O\) до центра \(C\), и он соединяет \(O\) с \(C\). --- ### Шаг 5: вычисление \( R \) — радиуса сектора Далее, рассматриваем треугольник: - \(O\), - \(C\), центр малой окружности, - и точку касания — точки, где окружность касается радиальных линий. Поскольку \(C\) лежит на bisсектрисе, - расстояние от \(O\) до \(C\): \(d = R - a\), - угол при вершине \(O\): \(120^\circ\), - угол между линиями касания: \(60^\circ\) (так как bisсекриса делит угол пополам). Практически, \(C\) расположена по внутренней bisсектрисе уголка 120°, то есть у неё: \[ \text{расстояние} = d = (R - a), \] а радиус касания — \(a\). --- ### Шаг 6: вывод Из аналитической геометрии, для окружности, расположенной внутри сектора и касающейся обеих радиальных линий уголка 120°, радиус \(a\) связан с радиусом сектора \(R\) следующим образом: \[ a = (R) \times \sin\left(\frac{\theta}{2}\right), \] где \(\theta = 120^\circ\). Подставим: \[ a = R \times \sin(60^\circ), \] и известно: \[ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Следовательно, \[ a = R \times \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Выразим \( R \): \[ R = \frac{2a}{\sqrt{3}}. \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Радиус сектора } R = \frac{2a}{\sqrt{3}}. } \] Это — искомое решение, показывающее, как радиус сектора зависит от радиуса вписанной окружности.