Давайте решим задачу пошагово, чтобы найти длину окружности дороги в парке.
Обозначим переменные:
- ( D ) — длина диаметра дороги (в километрах),
- ( C ) — длина окружности дороги (в километрах).
Шаг 1. Запишем условия задачи:
Нам даны скорости и время.
- Скорость по кругу: 12 км/ч.
- Время, чтобы обехать круг: ( t_{окружность} ).
- Время по прямой (по диаметру): ( t_{прямой} ).
По условию, время на круг больше времени по диаметру на 25 минут, что равно (\frac{25}{60} = \frac{5}{12}) часа.
Запишем равенство:
[ t_{окружность} = t_{прямой} + \frac{5}{12} ]
Шаг 2. Выразим время через расстояние и скорость:
- Время по окружности: (\displaystyle t_{окружность} = \frac{C}{v}), где (v=12) км/ч.
- Время по прямой: (\displaystyle t_{прямой} = \frac{D}{v}).
Заменим в условии:
[ \frac{C}{12} = \frac{D}{12} + \frac{5}{12} ]
Упростим выражение:
[ \frac{C}{12} - \frac{D}{12} = \frac{5}{12} ]
Умножим обе части на 12:
[ C - D = 5 ]
Это важное уравнение: окружность и диаметр отличаются на 5 км.
Шаг 3. Связь между окружностью и диаметром:
Используем формулу окружности:
[ C = \pi D ]
где (\pi \approx 3,14). Тогда:
[ \pi D - D = 5 ]
[ D (\pi - 1) = 5 ]
Подставим (\pi \approx 3,14):
[ D (3,14 - 1) = 5 ]
[ D \times 2,14 = 5 ]
Итак,
[ D = \frac{5}{2,14} ]
Вычислим:
[ D \approx \frac{5}{2,14} \approx 2,34 \text{ км} ]
Шаг 4. Найдём длину окружности ( C ):
[ C = \pi D \approx 3,14 \times 2,34 ]
Вычислим:
[ C \approx 3,14 \times 2,34 \approx 7,35 \text{ км} ]
Итог:
Длина дороги около 7,4 километров (по округлению до десятых).
Ответ:
Длина дороги приблизительно равна 7,4 км.
