Давайте решим задачу пошагово и при помощи таблицы.
Дано:
- Муку разложили в 8 одинаковых пакетов.
- Сахар разложили в 6 одинаковых пакетов.
- Общий вес сахара на 10 кг меньше, чем общий вес муки.
Обозначения:
- Пусть вес одного пакета муки = (x) кг.
- Пусть вес одного пакета сахара = (y) кг.
Таблица для решения
| Вид продукта |
Количество пакетов |
Вес одного пакета |
Общий вес |
| Мука |
8 |
(x) |
(8x) кг |
| Сахар |
6 |
(y) |
(6y) кг |
Построение уравнений:
- Общий вес муки — (8x).
- Общий вес сахара — (6y).
- Тогда по условию:
[
8x = 6y + 10
]
Или:
[
8x - 6y = 10
]
Решение уравнения:
Упростим уравнение, разделив обе части на 2:
[
4x - 3y = 5
]
Дальше нам нужно выразить либо (x), либо (y):
[
4x = 3y + 5 \implies x = \frac{3y + 5}{4}
]
Чтобы найти конкретные значения, предполагаем целые веса пакетов (обычно так бывает в задачах). Тогда возможны такие числа (y), чтобы (\frac{3y + 5}{4}) было целым числом.
Пусть (y) — целое число. Проверим, при каких значениях (y):
[
x = \frac{3y + 5}{4}
]
Чтобы (x) было целым, (3y + 5) должно быть кратным 4. Посмотрим по модулю 4:
[
3y + 5 \equiv 0 \pmod{4}
]
Поскольку (5 \equiv 1 \pmod{4}),
[
3y + 1 \equiv 0 \pmod{4}
]
[
3y \equiv -1 \equiv 3 \pmod{4}
]
Обратим внимание, что 3 умножить на что даст 3 по модулю 4?
[
3 \times 1 \equiv 3 \pmod{4}
]
[
3 \times 2 \equiv 2 \pmod{4}
]
[
3 \times 3 \equiv 1 \pmod{4}
]
[
3 \times 0 \equiv 0 \pmod{4}
]
Видно, что (3y \equiv 3 \pmod{4}) когда (y \equiv 1 \pmod{4}). Значит, (y = 4k + 1), где (k) — целое число.
Подставим (y = 4k + 1):
[
x = \frac{3(4k + 1) + 5}{4} = \frac{12k + 3 + 5}{4} = \frac{12k + 8}{4} = 3k + 2
]
Значит:
[
x = 3k + 2, \quad y = 4k + 1
]
Рассмотрим минимальный позитивный вариант (k=0):
[
x = 2, \quad y = 1
]
Проверим:
[
8x = 8 \times 2 = 16 \text{ кг}
]
[
6y = 6 \times 1 = 6 \text{ кг}
]
Разница:
[
16 - 6 = 10 \text{ кг}
]
Совпадает с условием задачи.
Ответ:
- Вес муки: (8x = 16, \text{кг}).
- Вес сахара: (6y = 6, \text{кг}).
Итог: Мука весит 16 кг, а сахар — 6 кг.
