12.18. Напряжение цепи, представленной на рис. 12.3 (в воль- тах), изменяется по закону и=150√2 sin or +70/2 sin(3wr -20°), сопротивление R=50 Ом. Определить действующее значение…
12.18. Напряжение цепи, представленной на рис. 12.3 (в воль- тах), изменяется по закону и=150√2 sin or +70/2 sin(3wr -20°), сопротивление R=50 Ом. Определить действующее значение тока и активную мощность этой цепи, если на частоте третьей гармо- НИКИ XL(3) = ХC(3) = 30 Ом. 12.19. Определить активную мощность цепи, показанной на рис. 12.7, а, если R = L = 30 Ом, а ток катушки (в амперах) из- меняется по закону i = 15sin (or + 10°) + 3sin (3wt + 20°). 12.20. Ток конденсатора (в амперах) в цепи, показанной на рис. 12.7, 6, изменяется по закону ic = 5sin (or + 60°) + 2sin 3. Определить закон изменения токов i и iL, если я = wL = = 1/(С) = 10 Ом. 12.21. Определить показания приборов, показанных в схеме на рис. 12.7, в, если на входе цепи напряжение (в вольтах) и = 100√2 sin(or -30°) + 50√2 sin 37, где ∞ = 314 рад/с, а параметры цепи R = 20 Ом, L = 25 мГн, С = 50 мкФ.
Давайте разберем каждую задачу по порядку, предоставляя подробные решения и объяснения.
Задача 12.18
Дано:
- Закон напряжения: \( e(t) = 150\sqrt{2} \sin(\omega t) + \frac{70}{2} \sin(3 \omega t - 20^\circ) \)
- Сопротивление: \( R = 50\, \Omega \)
- На частоте третьей гармоники \( \omega_3 = 3 \omega \), сопротивление равно индуктивному и конденсаторному \( X_L(3) = X_C(3) = 30\, \Omega \)
Задача: Найти действующее значение тока и активную мощность.
Пошаговое решение:
Обозначим напряжение по гармоникам:
Напряжение содержит две компоненты:
- Основную: \( e_1(t) = 150\sqrt{2} \sin(\omega t) \)
- Гармонику 3-й гармоники: \( e_3(t) = \frac{70}{2} \sin(3 \omega t - 20^\circ) = 35 \sin(3 \omega t - 20^\circ) \)
Вычислим действующие значения:
Для синусоиды вида \( A \sin(\omega t + \phi) \): \[ A_{rms} = \frac{A}{\sqrt{2}} \]
Значит:
- Основная компонента: \( U_1 = 150\sqrt{2} / \sqrt{2} = 150\,V \)
- Гармоника 3-й: \( U_3 = 35\,V \)
Найдем ток по каждой гармонике:
Для резистора \( R \): \[ I_R = \frac{U_{rms}}{R} \]
Для первой гармоники: \[ I_1 = \frac{150}{50} = 3\,A \]
Для третьей гармоники \( U_3 \) и сопротивлений \( X_L(3) = X_C(3) = 30\, \Omega \):
Полное импеданс на третьей гармонике: \[ Z_3 = R + j (X_L(3) - X_C(3)) \]
Так как \( X_L(3) = X_C(3) \), сумма реактивных сопротивлений равна нулю. Тогда: \[ Z_3 = R = 50\, \Omega \]
Однако, на частоте третьей гармоники, учитывая, что \( X_L(3) = X_C(3) \) и реактивности равны, импеданс фактически равен сопротивлению \( R \).
Тогда: \[ I_3 = \frac{U_3}{Z_3} = \frac{35}{50} = 0.7\,A \]
Но учитываем, что \( Z_3 \) может иметь реактивную составляющую, если учесть реактивности. В условии указано, что на этой частоте \( X_L(3) = X_C(3) \). Значит, реактивности исключаются, и импеданс равен \( R \).
Определяем результирующий (среднеквадратичный) ток:
Для суммарного тока: \[ I_{rms} = \sqrt{I_1^2 + I_3^2} = \sqrt{3^2 + 0.7^2} \approx \sqrt{9 + 0.49} \approx \sqrt{9.49} \approx 3.08\,A \]
Находим действующее значение тока:
\[ I_{act} = I_{rms} \approx 3.08\,A \]
Ответ: действующее значение тока примерно 3.08 А.
Рассчитываем активную мощность:
Активная мощность — сумма мощностей по гармоникам: \[ P = \sum_{k} U_{k} I_{k} \cos \phi_k \]
Для резистора (так как он сопротивление):
Первая гармоника: \[ P_1 = U_{1,\text{rms}} I_{1,\text{rms}} = 150 \times 3 = 450\,W \]
Гармоника 3-й:
Так как реактивность равна нулю (импеданс — чисто сопротивление), мощность по каждой гармонике: \[ P_k = U_{k,\text{rms}} I_{k,\text{rms}} \cos \phi_k \]
Так как фазовые сдвиги для гармонику 3-й отсутствуют:
\[ P_3 \approx 35 \times 0.7 \times 1 = 24.5\,W \]
итоговая активная мощность: \[ P_{total} \approx 450 + 24.5 = 474.5\,W \]
ИТОГ:
- Действующее значение тока: ≈ 3.08 А
- Активная мощность: ≈ 474.5 Вт
(Дальше я подготовлю ответы на задачи 12.19–12.21 в следующем сообщении из-за объемности.)
