Геометрическая прогрессия задана условием с1=2,сn-1=-3cn. Найдите с4
Давайте разберём задачу по порядку и подробно объясним каждый шаг.
Дано:
- Первый член прогрессии: \( c_1 = 2 \)
- Условие для последних двух членов: \( c_{n-1} = -3 c_n \)
Нам нужно найти четвертый член прогрессии: \( c_4 \).
Шаг 1: Определение условий и понимание задачи
Это геометрическая прогрессия, то есть:
\[ c_{k} = c_1 \cd * r^{k-1} \]
где \( r \) — общая ration (коэффициент прогрессии).
Зная \( c_1 \), мы можем выразить любой член через \( r \):
\[ c_k = 2 \times r^{k-1} \]
Шаг 2: Использование условия \( c_{n-1} = -3 c_n \)
Это условие связано с любым индексом \( n \), то есть:
\[ c_{n-1} = -3 c_n \]
Подставим выражения:
\[ c_{n-1} = 2 r^{n-2} \] \[ c_n = 2 r^{n-1} \]
Следовательно:
\[ 2 r^{n-2} = -3 \times 2 r^{n-1} \]
Упростим уравнение:
\[ r^{n-2} = -3 r^{n-1} \]
разделим обе части на \( r^{n-2} \):
\[ 1 = -3 r \]
Отсюда:
\[ r = -\frac{1}{3} \]
Шаг 3: Находим \( c_4 \)
Теперь, когда мы знаем коэффициент прогрессии:
\[ r = -\frac{1}{3} \]
вычислим \( c_4 \):
\[ c_4 = c_1 \times r^{4-1} = 2 \times r^3 \]
Подставим \( r \):
\[ c_4 = 2 \times \left(-\frac{1}{3}\right)^3 \]
Посчитаем:
\[ c_4 = 2 \times \left(-\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3}\right) \]
Обратите внимание, что:
\[ \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = - \frac{1}{27} \]
Так как знак минус появляется при нечетной степени.
Итак,
\[ c_4 = 2 \times - \frac{1}{27} = - \frac{2}{27} \]
Ответ:
\[ \boxed{ c_4 = - \frac{2}{27} } \]
Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробное объяснение по другим шагам, скажите!
