Давайте разберём задачу по порядку и подробно объясним каждый шаг.
Дано:
- Первый член прогрессии: ( c_1 = 2 )
- Условие для последних двух членов: ( c_{n-1} = -3 c_n )
Нам нужно найти четвертый член прогрессии: ( c_4 ).
Шаг 1: Определение условий и понимание задачи
Это геометрическая прогрессия, то есть:
[
c_{k} = c_1 \cd * r^{k-1}
]
где ( r ) — общая ration (коэффициент прогрессии).
Зная ( c_1 ), мы можем выразить любой член через ( r ):
[
c_k = 2 \times r^{k-1}
]
Шаг 2: Использование условия ( c_{n-1} = -3 c_n )
Это условие связано с любым индексом ( n ), то есть:
[
c_{n-1} = -3 c_n
]
Подставим выражения:
[
c_{n-1} = 2 r^{n-2}
]
[
c_n = 2 r^{n-1}
]
Следовательно:
[
2 r^{n-2} = -3 \times 2 r^{n-1}
]
Упростим уравнение:
[
r^{n-2} = -3 r^{n-1}
]
разделим обе части на ( r^{n-2} ):
[
1 = -3 r
]
Отсюда:
[
r = -\frac{1}{3}
]
Шаг 3: Находим ( c_4 )
Теперь, когда мы знаем коэффициент прогрессии:
[
r = -\frac{1}{3}
]
вычислим ( c_4 ):
[
c_4 = c_1 \times r^{4-1} = 2 \times r^3
]
Подставим ( r ):
[
c_4 = 2 \times \left(-\frac{1}{3}\right)^3
]
Посчитаем:
[
c_4 = 2 \times \left(-\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3}\right)
]
Обратите внимание, что:
[
\left(-\frac{1}{3}\right)^3 = - \frac{1}{27}
]
Так как знак минус появляется при нечетной степени.
Итак,
[
c_4 = 2 \times - \frac{1}{27} = - \frac{2}{27}
]
Ответ:
[
\boxed{
c_4 = - \frac{2}{27}
}
]
Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробное объяснение по другим шагам, скажите!
