Давайте разберемся с задачей поэтапно и составим математическую модель.
Дано:
- Скорость катера в неподвижной воде: ( V_{катер} = 42 \text{ км/ч} )
- Скорость течения реки: ( V_{течения} = 2 \text{ км/ч} )
- Время стоянки: ( T_{стоя} = 2 \text{ часов} )
- Общее время возвращения в исходный пункт после отправления: ( T_{общ} = 23 \text{ часов} )
Что нужно найти:
- Общий пройденный катером путь за весь рейс.
Шаг 1. Обозначения и построение модели
Обозначим:
- ( V_{по} = V_{катер} + V_{течения} = 42 + 2 = 44 \text{ км/ч} ) — скорость катера по течению.
- ( V_{обратн} = V_{катер} - V_{течения} = 42 - 2 = 40 \text{ км/ч} ) — скорость против течения.
Пусть:
- ( D ) — расстояние, которое катер проходит по течению (и обратно — также расстояние (D)) — в силу симметрии маршрута.
- ( T_{вперед} ) — время в пути по течению.
- ( T_{обратно} ) — время в пути против течения.
Тогда:
[
T_{вперед} = \frac{D}{V_{по}} = \frac{D}{44}
]
[
T_{обратно} = \frac{D}{V_{обратн}} = \frac{D}{40}
]
Общее время путешествия, учитывая стоянку:
[
T_{вперед} + T_{обратно} + T_{стоя} = T_{общ}
]
Подставим известные значения и получим уравнение:
[
\frac{D}{44} + \frac{D}{40} + 2 = 23
]
Шаг 2. Решение уравнения для ( D )
Перенесем число 2 в левую сторону:
[
\frac{D}{44} + \frac{D}{40} = 21
]
Находим сумму дробей:
[
D \left( \frac{1}{44} + \frac{1}{40} \right) = 21
]
Найдем сумму дробей:
[
\frac{1}{44} + \frac{1}{40} = \frac{40}{44 \times 40} + \frac{44}{44 \times 40} = \frac{40 + 44}{44 \times 40}
]
[
= \frac{84}{1760}
]
Упростим дробь:
[
\frac{84}{1760} = \frac{21}{440}
]
Теперь уравнение принимает вид:
[
D \times \frac{21}{440} = 21
]
Отсюда решим относительно ( D ):
[
D = 21 \times \frac{440}{21} = 440
]
Шаг 3. Итог
- Расстояние, которое катер прошел по течению (и обратно), равно ( D = 440 ) км.
- Общий пройденный путь за весь рейс:
[
S_{итог} = 2D = 2 \times 440 = 880 \text{ км}
]
Ответ:
Катер прошел за весь рейс 880 километров.
Если надо, я могу пояснить каждый шаг подробнее.
