Составьте математическую модель задачи и решите её. Экскурсионный катер, скорость которого в неподвижной воде равна 42 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки, которая…
Составьте математическую модель задачи и решите её. Экскурсионный катер, скорость которого в неподвижной воде равна 42 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки, которая длится 2 часа, возвращается в исходный пункт. Найдите, сколько километров прошёл катер за весь рейс, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч, а в исходный пункт экскурсионный катер вернулся через 23 часа после отправления из него. Для решения задачи воспользуйтесь памяткой.
Давайте разберемся с задачей поэтапно и составим математическую модель.
Дано:
- Скорость катера в неподвижной воде: \( V_{катер} = 42 \text{ км/ч} \)
- Скорость течения реки: \( V_{течения} = 2 \text{ км/ч} \)
- Время стоянки: \( T_{стоя} = 2 \text{ часов} \)
- Общее время возвращения в исходный пункт после отправления: \( T_{общ} = 23 \text{ часов} \)
Что нужно найти:
- Общий пройденный катером путь за весь рейс.
Шаг 1. Обозначения и построение модели
Обозначим:
- \( V_{по} = V_{катер} + V_{течения} = 42 + 2 = 44 \text{ км/ч} \) — скорость катера по течению.
- \( V_{обратн} = V_{катер} - V_{течения} = 42 - 2 = 40 \text{ км/ч} \) — скорость против течения.
Пусть:
- \( D \) — расстояние, которое катер проходит по течению (и обратно — также расстояние \(D\)) — в силу симметрии маршрута.
- \( T_{вперед} \) — время в пути по течению.
- \( T_{обратно} \) — время в пути против течения.
Тогда: \[ T_{вперед} = \frac{D}{V_{по}} = \frac{D}{44} \] \[ T_{обратно} = \frac{D}{V_{обратн}} = \frac{D}{40} \]
Общее время путешествия, учитывая стоянку: \[ T_{вперед} + T_{обратно} + T_{стоя} = T_{общ} \]
Подставим известные значения и получим уравнение: \[ \frac{D}{44} + \frac{D}{40} + 2 = 23 \]
Шаг 2. Решение уравнения для \( D \)
Перенесем число 2 в левую сторону: \[ \frac{D}{44} + \frac{D}{40} = 21 \]
Находим сумму дробей: \[ D \left( \frac{1}{44} + \frac{1}{40} \right) = 21 \]
Найдем сумму дробей: \[ \frac{1}{44} + \frac{1}{40} = \frac{40}{44 \times 40} + \frac{44}{44 \times 40} = \frac{40 + 44}{44 \times 40} \] \[ = \frac{84}{1760} \]
Упростим дробь: \[ \frac{84}{1760} = \frac{21}{440} \]
Теперь уравнение принимает вид: \[ D \times \frac{21}{440} = 21 \]
Отсюда решим относительно \( D \): \[ D = 21 \times \frac{440}{21} = 440 \]
Шаг 3. Итог
- Расстояние, которое катер прошел по течению (и обратно), равно \( D = 440 \) км.
- Общий пройденный путь за весь рейс: \[ S_{итог} = 2D = 2 \times 440 = 880 \text{ км} \]
Ответ:
Катер прошел за весь рейс 880 километров.
Если надо, я могу пояснить каждый шаг подробнее.
