1/4x-2+1/x+1=1 если уравнение имеет больше одного корня, в ответе укажите меньший из них
Рассмотрим уравнение:
\[ \frac{1}{4}x - 2 + \frac{1}{x} + 1 = 1 \]
Шаг 1. Упростим левую часть:
\[ \frac{1}{4}x - 2 + \frac{1}{x} + 1 = 1 \]
Объединим подобные слагаемые \(-2 + 1\):
\[ \frac{1}{4}x + \frac{1}{x} - 1 = 1 \]
Шаг 2. Перенесем число 1 вправо:
\[ \frac{1}{4}x + \frac{1}{x} - 1 - 1 = 0 \]
\[ \frac{1}{4}x + \frac{1}{x} - 2 = 0 \]
Шаг 3. Чтобы избавиться от дробей, умножим всё уравнение на наименьший общий знаменатель. Знаменатели: 4 и \(x\). Общий знаменатель — \(4x\).
Умножим обе части уравнения на \(4x\):
\[ 4x \times \left( \frac{1}{4}x + \frac{1}{x} - 2 \right) = 0 \]
Рассмотрим каждое слагаемое:
- \(4x \times \frac{1}{4}x = x \times x = x^2\)
- \(4x \times \frac{1}{x} = 4\)
- \(4x \times (-2) = -8x\)
Получаем уравнение:
\[ x^2 + 4 - 8x = 0 \]
Шаг 4. Перенесем все в левую сторону и запишем стандартный вид:
\[ x^2 - 8x + 4 = 0 \]
Шаг 5. Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 64 - 16 = 48 \]
Найдем корни по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} \]
Упростим \(\sqrt{48}\):
\[ \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} \]
Тогда корни:
\[ x_{1,2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} \]
Раскроем деление:
\[ x_{1,2} = 4 \pm 2\sqrt{3} \]
Итак, оба корня:
\[ x_1 = 4 - 2\sqrt{3} \] \[ x_2 = 4 + 2\sqrt{3} \]
Шаг 6. Проверим, не равен ли один из корней нулю (так как в исходном уравнении есть деление на \(x\)).
- \(x_1 = 4 - 2\sqrt{3}\). Так как \(\sqrt{3} \approx 1,732\):
\[ x_1 \approx 4 - 2 \times 1,732 = 4 - 3,464 = 0,536 \] — не равен нулю, значит, подходит.
- \(x_2 = 4 + 2\sqrt{3} \approx 4 + 3,464 = 7,464\):
— тоже не равен нулю, подходит.
Оба корня допустимы.
Ответ:
Меньший из корней — \(\boxed{4 - 2\sqrt{3}}\).
Если нужно оставить ответ в виде радикала, то он так и остается. В десятичном виде это примерно 0,536.
