Конечно! Решим неравенство:
[
(0{,}1)^{2x - 3} \leq 100
]
Шаг 1. Представим число 0,1 в виде степенного выражения. Заметим, что:
[
0{,}1 = \frac{1}{10}
]
А также:
[
\left(\frac{1}{10}\right)^k = 10^{-k}
]
Тогда неравенство можно переписать как:
[
\left(\frac{1}{10}\right)^{2x - 3} \leq 100
]
или
[
10^{-(2x - 3)} \leq 100
]
Шаг 2. Запишем 100 как степень десятки:
[
100 = 10^2
]
Тогда неравенство стало:
[
10^{-(2x - 3)} \leq 10^2
]
Шаг 3. Так как функция ( 10^t ) — монотонно возрастает, неравенство сохраняет свою сторону при сравнении показателей степеней. Поэтому, сравним показатели степеней:
[
-(2x - 3) \leq 2
]
Шаг 4. Раскроем скобки:
[
-2x + 3 \leq 2
]
Вычтем 3 из обеих частей:
[
-2x \leq -1
]
Шаг 5. Разделим обе части неравенства на (-2). Внимание: деление на отрицательное число меняет знак неравенства:
[
x \geq \frac{-1}{-2}
]
или
[
x \geq \frac{1}{2}
]
Ответ:
[
\boxed{
x \geq \frac{1}{2}
}
]
Это означает, что для всех значений ( x ), больших или равных 0,5, выполняется заданное неравенство.
