1/(х-3)²-3/х-3-4=0

Рассмотрим задачу: \[ \frac{1}{(x-3)^2} - \frac{3}{x-3} - 4 = 0 \] Цель — понять, как решить эту задачу пошагово. --- ### Шаг 1: Обозначения и замена переменной Обратим внимание, что во всех дробях есть выражение \( x - 3 \). Для упрощения введём новую переменную: \[ t = x - 3 \] Тогда: \[ (x - 3)^2 = t^2 \] Подставим всё в исходное уравнение: \[ \frac{1}{t^2} - \frac{3}{t} - 4 = 0 \] --- ### Шаг 2: Записать уравнение в виде рациональной дроби У нас получилось уравнение: \[ \frac{1}{t^2} - \frac{3}{t} - 4 = 0 \] Чтобы решить его, приведём все к общему знаменателю \( t^2 \): \[ \frac{1}{t^2} - \frac{3t}{t^2} - \frac{4t^2}{t^2} = 0 \] Объединяем в одну дробь: \[ \frac{1 - 3t - 4t^2}{t^2} = 0 \] --- ### Шаг 3: Решение уравнения Директивно уравнение равно нулю, поэтому числитель должен быть равен нулю (при условии, что \( t \neq 0 \), чтобы дробь была определена): \[ 1 - 3t - 4t^2 = 0 \] Это — квадратичное уравнение: \[ -4t^2 - 3t + 1 = 0 \] Для удобства умножим обе части уравнения на \(-1\): \[ 4t^2 + 3t - 1 = 0 \] --- ### Шаг 4: Решение квадратичного уравнения Используем формулу для нахождения корней: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a=4 \), \( b=3 \), \( c=-1 \). Подставим: \[ t = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} \] Посчитаем дискриминант: \[ D = 9 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 \] Корень из дискриминанта: \[ \sqrt{25} = 5 \] Теперь найдём оба корня: \[ t = \frac{-3 \pm 5}{8} \] - Для плюса: \[ t = \frac{-3 + 5}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \] - Для минуса: \[ t = \frac{-3 - 5}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \] --- ### Шаг 5: Вернуть к \( x \) Помним, что \( t = x - 3 \). Поэтому: - Для \( t = \frac{1}{4} \): \[ x - 3 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = 3 + \frac{1}{4} = \frac{13}{4} \] - Для \( t = -1 \): \[ x - 3 = -1 \Rightarrow x = 3 - 1 = 2 \] --- ### Шаг 6: Проверка условий Обратим внимание, что исходное уравнение содержит деления: - \( (x-3)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \) - \( x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \) Наши решения \( x = 2 \) и \( x = \frac{13}{4} \) оба отличаются от 3, значит, оба допустимы. --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ x = 2 \quad \text{или} \quad x = \frac{13}{4} } \] Если есть дополнительные вопросы или нужен разбор другого типа задач — обращайтесь!