1/(х-3)²-3/х-3-4=0
Рассмотрим задачу:
\[
\frac{1}{(x-3)^2} - \frac{3}{x-3} - 4 = 0
\]
Цель — понять, как решить эту задачу пошагово.
Шаг 1: Обозначения и замена переменной
Обратим внимание, что во всех дробях есть выражение \( x - 3 \). Для упрощения введём новую переменную:
\[ t = x - 3 \]
Тогда:
\[ (x - 3)^2 = t^2 \]
Подставим всё в исходное уравнение:
\[ \frac{1}{t^2} - \frac{3}{t} - 4 = 0 \]
Шаг 2: Записать уравнение в виде рациональной дроби
У нас получилось уравнение:
\[ \frac{1}{t^2} - \frac{3}{t} - 4 = 0 \]
Чтобы решить его, приведём все к общему знаменателю \( t^2 \):
\[ \frac{1}{t^2} - \frac{3t}{t^2} - \frac{4t^2}{t^2} = 0 \]
Объединяем в одну дробь:
\[ \frac{1 - 3t - 4t^2}{t^2} = 0 \]
Шаг 3: Решение уравнения
Директивно уравнение равно нулю, поэтому числитель должен быть равен нулю (при условии, что \( t \neq 0 \), чтобы дробь была определена):
\[ 1 - 3t - 4t^2 = 0 \]
Это — квадратичное уравнение:
\[ -4t^2 - 3t + 1 = 0 \]
Для удобства умножим обе части уравнения на \(-1\):
\[ 4t^2 + 3t - 1 = 0 \]
Шаг 4: Решение квадратичного уравнения
Используем формулу для нахождения корней:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a=4 \), \( b=3 \), \( c=-1 \).
Подставим:
\[ t = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} \]
Посчитаем дискриминант:
\[ D = 9 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 \]
Корень из дискриминанта:
\[ \sqrt{25} = 5 \]
Теперь найдём оба корня:
\[ t = \frac{-3 \pm 5}{8} \]
- Для плюса:
\[ t = \frac{-3 + 5}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]
- Для минуса:
\[ t = \frac{-3 - 5}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]
Шаг 5: Вернуть к \( x \)
Помним, что \( t = x - 3 \). Поэтому:
- Для \( t = \frac{1}{4} \):
\[ x - 3 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = 3 + \frac{1}{4} = \frac{13}{4} \]
- Для \( t = -1 \):
\[ x - 3 = -1 \Rightarrow x = 3 - 1 = 2 \]
Шаг 6: Проверка условий
Обратим внимание, что исходное уравнение содержит деления:
- \( (x-3)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \)
- \( x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \)
Наши решения \( x = 2 \) и \( x = \frac{13}{4} \) оба отличаются от 3, значит, оба допустимы.
Ответ:
\[ \boxed{ x = 2 \quad \text{или} \quad x = \frac{13}{4} } \]
Если есть дополнительные вопросы или нужен разбор другого типа задач — обращайтесь!
