Построй у себя в тетради координатную плоскость и отметь на ней точки A(−7;−1)A(−7;−1) , B(−3;3) B(−3;3) , C(−5;3)C(−5;3) и D(−7;−3) D(−7;−3) .Найди координаты точки пересечения…
Построй у себя в тетради координатную плоскость и отметь на ней точки A(−7;−1)A(−7;−1), B(−3;3) B(−3;3), C(−5;3)C(−5;3) и D(−7;−3) D(−7;−3).Найди координаты точки пересечения отрезков A B AB и C D CD.
Давайте разберем задачу пошагово.
Шаг 1: Построение координатной плоскости и отметка точек
Для начала нарисуем координатную плоскость — оси X и Y.
Точки:
- \(A(-7, -1)\)
- \(B(-3, 3)\)
- \(C(-5, 3)\)
- \(D(-7, -3)\)
Обозначим их на координатной плоскости.
Шаг 2: Нахождение уравнений отрезков \(AB\) и \(CD\)
Чтобы найти точку пересечения отрезков, нужно сначала найти уравнения прямых, на которых лежат эти отрезки.
Шаг 3: Уравнение отрезка \(AB\)
Координаты:
- \(A(-7, -1)\)
- \(B(-3, 3)\)
Найдем наклон (угловой коэффициент) \(k_{AB}\):
\[ k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - (-1)}{-3 - (-7)} = \frac{4}{4} = 1 \]
Уравнение прямой \(AB\):
Используем точку \(A(-7, -1)\):
\[ y - y_1 = k(x - x_1) \]
\[ y + 1 = 1(x + 7) \]
\[ y + 1 = x + 7 \]
\[ y = x + 6 \]
Проверка:
- В точке \(A(-7, -1)\):
\[ -1 = -7 + 6 \quad \checkmark \]
- В точке \(B(-3, 3)\):
\[ 3 = -3 + 6 \quad \checkmark \]
Шаг 4: Уравнение отрезка \(CD\)
Координаты:
- \(C(-5, 3)\)
- \(D(-7, -3)\)
Находим наклон \(k_{CD}\):
\[ k_{CD} = \frac{-3 - 3}{-7 - (-5)} = \frac{-6}{-2} = 3 \]
Уравнение прямой \(CD\):
Используем точку \(C(-5, 3)\):
\[ y - 3 = 3(x + 5) \]
\[ y - 3 = 3x + 15 \]
\[ y = 3x + 18 \]
Шаг 5: Нахождение точки пересечения прямых \(AB\) и \(CD\)
Рекурируем:
\[ y = x + 6 \quad \text{(1)} \] \[ y = 3x + 18 \quad \text{(2)} \]
Приравниваем:
\[ x + 6 = 3x + 18 \]
\[ 6 - 18 = 3x - x \]
\[ -12 = 2x \]
\[ x = -6 \]
Подставим в уравнение (1):
\[ y = -6 + 6 = 0 \]
Точка пересечения прямых:
\[ (-6, 0) \]
Шаг 6: Проверка, входит ли точка в отрезки
Проверяем, находится ли точка \((-6, 0)\) на отрезках \(AB\) и \(CD\).
Для отрезка \(AB\):
- \(A(-7, -1)\), \(B(-3, 3)\)
Проверка:
\[ x\text{-промежуток}: -7 \leq -6 \leq -3 \quad \text{(верно)} \] \[ y\text{-промежуток}: -1 \leq 0 \leq 3 \quad \text{(верно)} \]
Так как точка \((-6, 0)\) лежит в промежутке по X и Y для \(AB\), она принадлежит отрезку \(AB\).
Для отрезка \(CD\):
- \(C(-5, 3)\), \(D(-7, -3)\)
Проверяем:
\[ x\text{-промежуток}: -7 \leq -6 \leq -5 \quad \text{(верно)} \] \[ y\text{-промежуток}: -3 \leq 0 \leq 3 \quad \text{(верно)} \]
Точка \((-6, 0)\) также лежит в промежутке по X и Y для \(CD\).
Ответ:
Координаты точки пересечения отрезков \(AB\) и \(CD\):
\[ \boxed{(-6, 0)} \]
Если нужно, я могу помочь вам с построением графика или объяснить более подробно.
