(x+6)⁴
Давайте подробно развернем выражение \((x+6)^4\) с помощью бинома Ньютона, чтобы понять, как его раскрыть.
Шаг 1: Обозначение бинома Ньютона
Выражение \((x + 6)^4\) — это четвертая степень суммы двух чисел \(x\) и 6. Для раскрытия такого выражения используем формулу бинома Ньютона:
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^{k} \]
где \(\binom{n}{k}\) — биномиальные коэффициенты.
Шаг 2: Запишем конкретное выражение
Для \(n=4\),
\[ (x + 6)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} 6^{k} \]
расписываем по каждому члену:
\[ = \binom{4}{0} x^{4} 6^{0} + \binom{4}{1} x^{3} 6^{1} + \binom{4}{2} x^{2} 6^{2} + \binom{4}{3} x^{1} 6^{3} + \binom{4}{4} x^{0} 6^{4} \]
Шаг 3: Находим биномиальные коэффициенты \(\binom{4}{k}\):
- \(\binom{4}{0} = 1\)
- \(\binom{4}{1} = 4\)
- \(\binom{4}{2} = 6\)
- \(\binom{4}{3} = 4\)
- \(\binom{4}{4} = 1\)
Шаг 4: Подставляем и считаем каждый член
\(\binom{4}{0} x^4 6^0 = 1 \times x^4 \times 1 = x^4\)
\(\binom{4}{1} x^3 6^1 = 4 \times x^3 \times 6 = 24 x^3\)
\(\binom{4}{2} x^2 6^2 = 6 \times x^2 \times 36 = 216 x^2\)
\(\binom{4}{3} x^1 6^3 = 4 \times x \times 216 = 864 x\)
\(\binom{4}{4} x^0 6^4 = 1 \times 1 \times 1296 = 1296\)
Итоговое развернутое выражение
\[ (x + 6)^4 = x^4 + 24 x^3 + 216 x^2 + 864 x + 1296 \]
Итод: Ответ
\[ \boxed{ (x + 6)^4 = x^4 + 24 x^3 + 216 x^2 + 864 x + 1296 } \]
Если нужно объяснить подробнее какой-либо шаг или разбираетесь с конкретной частью, скажите!
