в кафе золотистых ложек 23,серебрянных-36.официант не гляля достает 3 ложки.определи вероятность что и первая и третья ложки будут золотистыми
Давайте разберём задачу шаг за шагом.
Дано:
- В кафе есть 23 золотистых ложки.
- В кафе есть 36 серебряных ложек.
- Всего ложек: 23 + 36 = 59.
- Официант достает 3 ложки (по одной за раз), при этом не возвращает их обратно.
- Нужно найти вероятность того, что среди этих трёх ложек первая и третья будут золотистыми.
Шаг 1: Определение событий
- Первая ложка — золотистая.
- Вторая ложка — какая угодно.
- Третья ложка — золотистая.
Нас интересует вероятность, что первая и третья ложки окажутся золотистыми, независимо от того, что вторая ложка.
Шаг 2: Решение
Общая вероятность: рассматриваем последовательность вытягивания ложек без возврата.
Шаг 3: Вероятность того, что первая ложка — золотистая
- Всего ложек: 59.
- Золотистых: 23.
Вероятность, что первая ложка — золотистая:
\[ P_{\text{1-я}} = \frac{23}{59} \]
Шаг 4: Вероятность того, что третья ложка — золотистая, при условии, что первая — золотистая
Задача сложнее, потому что после вытягивания первой ложки остаётся 58 ложек, а одну из них — золотистая (если первая тоже была золотистая).
После того, как достали первую золотистую ложку:
- Золотистых осталось: 22.
- Всего ложек осталось: 58.
Обозначим событие, что в третьей позиции — золотистая, с учетом уже вытянутых ложек.
Потому что первая и третья — разные события, и вытягивание первой влияет на положение третьей.
Шаг 5: Общее решение через условные вероятности
Обозначим:
- \( A \): первая ложка — золотистая,
- \( C \): третья ложка — золотистая.
Ищем вероятность \( P(A \cap C) \).
Используем правило умножения:
\[ P(A \cap C) = P(A) \times P(C \mid A) \]
Где:
- \( P(A) = \frac{23}{59} \),
- \( P(C \mid A) \) — вероятность того, что третья ложка золотистая, при условии, что первая — золотистая.
Шаг 6: Найдём \( P(C \mid A) \)
Если первая — золотистая (общий сценарий):
После вытягивания первой ложки остались:
- Золотистых: 22,
- Всего: 58.
Но опять же, для определения вероятности, что третья — золотистая, нужно учесть, что выбор третьей ложки — это случайное вытягивание из оставшихся.
Обратите внимание, что вытягивание второй ложки (любая) не меняет факт, что в корзине остаётся 58 ложек, из которых 22 — золотистых.
Шаг 7: Вероятность, что третья — золотистая, при условии, что первая — золотистая
Поскольку вытянули первую — золотистую ложку, и в следующем вытягивании для третьей мы ищем вероятность, что из оставшихся 58 ложек, одна из них — золотистая.
Для третьей ложки:
- Общее число оставшихся ложек: 58,
- Золотистых — 22.
Но важно помнить, что мы вытянули вторую ложку, которая могла быть как золотистой, так и серебряной.
Важный момент:
- Вторая ложка может оказаться любой, что влияет на количество оставшихся золотистых ложек.
Итак, рассмотрим все возможные случаи:
Вторая ложка — золотистая:
Тогда после первых двух вытягиваний:Золотистых осталось: 21 (изначально 23, минус одна — в первой).
Всего оставшихся ложек: 57.
Вторая ложка — серебряная:
Тогда:Золотистых осталось: 22 (изначально 23, в первой — золотая, вторая — серебрянная, не меняет количество золотистых).
Всего ложек: 57.
Шаг 8: Расчёт
Общая вероятность, что первая — золотистая:
\[ P(\text{первая — золотистая}) = \frac{23}{59} \]
Дальше — вероятность, что в третьей — золотистая, зависит от результата вытягивания второй ложки:
\[ P(\text{третья — золотистая} \mid \text{первая — золотистая}) = P(\text{вторая — зол.} \mid \text{первая — зол.}) \times P(\text{{третья — зол.} \mid \text{первая — зол., вторая — зол.}}) + P(\text{вторая — серебр.} \mid \text{первая — зол.}) \times P(\text{{третья — зол.} \mid \text{первая — зол., вторая — ср.}}) \]
Рассчитаем по частям:
\( P(\text{вторая — зол.} \mid \text{первая — зол.}) = \frac{22}{58} \)
(после вытягивания первой — золотой, осталась 22 зол. из 58).\( P(\text{вторая — ср.} \mid \text{первая — зол.}) = \frac{36}{58} \).
Далее:
Если вторая — золото, то в оставшихся:
- Золотистых: 21,
- Всего: 57,
- \( P(\text{третья — зол.} \mid \text{первая — зол., вторая — зол.}) = \frac{21}{57} \).
Если вторая — серебро, то в оставшихся:
- Золотистых: 22,
- Всего: 57,
- \( P(\text{третья — зол.} \mid \text{первая — зол., вторая — ср.}) = \frac{22}{57} \).
Теперь подставим:
\[ P(\text{третья — зол.} \mid \text{первая — зол.}) = \left(\frac{22}{58}\right) \times \left(\frac{21}{57}\right) + \left(\frac{36}{58}\right) \times \left(\frac{22}{57}\right) \]
Шаг 9: Окончательный расчёт
Выразим это:
\[ = \frac{22}{58} \times \frac{21}{57} + \frac{36}{58} \times \frac{22}{57} \]
Общий знаменатель: \( 58 \times 57 \)
Перемножим числители:
\[ 22 \times 21 = 462; \quad 36 \times 22 = 792 \]
Общий числитель:
\[ 462 + 792 = 1254 \]
Общий знаменатель:
\[ 58 \times 57 = 3306 \]
Итак,
\[ P(\text{третья — зол.} \mid \text{первая — зол.}) = \frac{1254}{3306} \]
Сократим дробь:
Обратим внимание, что:
- делим числитель и знаменатель на 6:
\[ \frac{1254 / 6}{3306 / 6} = \frac{209}{551} \]
ИТОГОВЫЙ результат:
Вероятность, что первая и третья ложки — золотистые:
\[ P = P(\text{первая — зол.}) \times P(\text{третья — зол.} \mid \text{первая — зол.}) = \frac{23}{59} \times \frac{209}{551} \]
Перемножим числители и знаменатели:
\[ = \frac{23 \times 209}{59 \times 551} \]
Вычеслим:
\( 23 \times 209 \):
\( 23 \times 200 = 4600 \),
\( 23 \times 9 = 207 \),
сумма: \( 4600 + 207 = 4807 \).
Знаменатель: \( 59 \times 551 \):
\( 59 \times 551 \):
\( 59 \times 550 = 32450 \),
\( 59 \times 1= 59 \),
сумма: \( 32450 + 59 = 32409 \).
Ответ:
\[ \boxed{ \frac{4807}{32409} } \]
Это — вероятность, что первая и третья ложки будут золотистыми.
Если нужно, я могу помочь с возможным приближением или более удобным представлением.
