В кафе золотистых ложек 23,серебрянных-36.официант не гляля достает 3 ложки.определи вероятность что и первая и третья ложки будут золотистыми

Давайте разберём задачу шаг за шагом. **Дано:** - В кафе есть 23 золотистых ложки. - В кафе есть 36 серебряных ложек. - Всего ложек: 23 + 36 = 59. - Официант достает 3 ложки (по одной за раз), при этом не возвращает их обратно. - Нужно найти вероятность того, что среди этих трёх ложек первая и третья будут золотистыми. --- ### Шаг 1: Определение событий - Первая ложка — золотистая. - Вторая ложка — какая угодно. - Третья ложка — золотистая. Нас интересует вероятность, что первая и третья ложки окажутся золотистыми, независимо от того, что вторая ложка. --- ### Шаг 2: Решение **Общая вероятность**: рассматриваем последовательность вытягивания ложек без возврата. --- ### Шаг 3: Вероятность того, что первая ложка — золотистая - Всего ложек: 59. - Золотистых: 23. Вероятность, что первая ложка — золотистая: \[ P_{\text{1-я}} = \frac{23}{59} \] --- ### Шаг 4: Вероятность того, что третья ложка — золотистая, при условии, что первая — золотистая Задача сложнее, потому что после вытягивания первой ложки остаётся 58 ложек, а одну из них — золотистая (если первая тоже была золотистая). - После того, как достали первую золотистую ложку: - Золотистых осталось: 22. - Всего ложек осталось: 58. - Обозначим событие, что в третьей позиции — золотистая, с учетом уже вытянутых ложек. Потому что первая и третья — разные события, и вытягивание первой влияет на положение третьей. --- ### Шаг 5: Общее решение через условные вероятности Обозначим: - \( A \): первая ложка — золотистая, - \( C \): третья ложка — золотистая. Ищем вероятность \( P(A \cap C) \). Используем правило умножения: \[ P(A \cap C) = P(A) \times P(C \mid A) \] Где: - \( P(A) = \frac{23}{59} \), - \( P(C \mid A) \) — вероятность того, что третья ложка золотистая, при условии, что первая — золотистая. --- ### Шаг 6: Найдём \( P(C \mid A) \) Если первая — золотистая (общий сценарий): - После вытягивания первой ложки остались: - Золотистых: 22, - Всего: 58. - Но опять же, для определения вероятности, что третья — золотистая, нужно учесть, что выбор третьей ложки — это случайное вытягивание из оставшихся. Обратите внимание, что вытягивание второй ложки (любая) не меняет факт, что в корзине остаётся 58 ложек, из которых 22 — золотистых. --- ### Шаг 7: Вероятность, что третья — золотистая, при условии, что первая — золотистая Поскольку вытянули первую — золотистую ложку, и в следующем вытягивании для третьей мы ищем вероятность, что из оставшихся 58 ложек, одна из них — золотистая. Для третьей ложки: - Общее число оставшихся ложек: 58, - Золотистых — 22. Но важно помнить, что мы вытянули вторую ложку, которая могла быть как золотистой, так и серебряной. ### Важный момент: - Вторая ложка может оказаться любой, что влияет на количество оставшихся золотистых ложек. Итак, **рассмотрим все возможные случаи**: 1. **Вторая ложка — золотистая:** Тогда после первых двух вытягиваний: - Золотистых осталось: 21 (изначально 23, минус одна — в первой). - Всего оставшихся ложек: 57. 2. **Вторая ложка — серебряная:** Тогда: - Золотистых осталось: 22 (изначально 23, в первой — золотая, вторая — серебрянная, не меняет количество золотистых). - Всего ложек: 57. --- ### Шаг 8: Расчёт Общая вероятность, что первая — золотистая: \[ P(\text{первая — золотистая}) = \frac{23}{59} \] Дальше — вероятность, что в третьей — золотистая, зависит от результата вытягивания второй ложки: \[ P(\text{третья — золотистая} \mid \text{первая — золотистая}) = P(\text{вторая — зол.} \mid \text{первая — зол.}) \times P(\text{{третья — зол.} \mid \text{первая — зол., вторая — зол.}}) + P(\text{вторая — серебр.} \mid \text{первая — зол.}) \times P(\text{{третья — зол.} \mid \text{первая — зол., вторая — ср.}}) \] Рассчитаем по частям: - \( P(\text{вторая — зол.} \mid \text{первая — зол.}) = \frac{22}{58} \) (после вытягивания первой — золотой, осталась 22 зол. из 58). - \( P(\text{вторая — ср.} \mid \text{первая — зол.}) = \frac{36}{58} \). Далее: - Если вторая — золото, то в оставшихся: - Золотистых: 21, - Всего: 57, - \( P(\text{третья — зол.} \mid \text{первая — зол., вторая — зол.}) = \frac{21}{57} \). - Если вторая — серебро, то в оставшихся: - Золотистых: 22, - Всего: 57, - \( P(\text{третья — зол.} \mid \text{первая — зол., вторая — ср.}) = \frac{22}{57} \). Теперь подставим: \[ P(\text{третья — зол.} \mid \text{первая — зол.}) = \left(\frac{22}{58}\right) \times \left(\frac{21}{57}\right) + \left(\frac{36}{58}\right) \times \left(\frac{22}{57}\right) \] --- ### Шаг 9: Окончательный расчёт Выразим это: \[ = \frac{22}{58} \times \frac{21}{57} + \frac{36}{58} \times \frac{22}{57} \] Общий знаменатель: \( 58 \times 57 \) Перемножим числители: \[ 22 \times 21 = 462; \quad 36 \times 22 = 792 \] Общий числитель: \[ 462 + 792 = 1254 \] Общий знаменатель: \[ 58 \times 57 = 3306 \] Итак, \[ P(\text{третья — зол.} \mid \text{первая — зол.}) = \frac{1254}{3306} \] Сократим дробь: Обратим внимание, что: - делим числитель и знаменатель на 6: \[ \frac{1254 / 6}{3306 / 6} = \frac{209}{551} \] --- ### **ИТОГОВЫЙ результат:** Вероятность, что первая и третья ложки — золотистые: \[ P = P(\text{первая — зол.}) \times P(\text{третья — зол.} \mid \text{первая — зол.}) = \frac{23}{59} \times \frac{209}{551} \] Перемножим числители и знаменатели: \[ = \frac{23 \times 209}{59 \times 551} \] Вычеслим: - \( 23 \times 209 \): \( 23 \times 200 = 4600 \), \( 23 \times 9 = 207 \), сумма: \( 4600 + 207 = 4807 \). - Знаменатель: \( 59 \times 551 \): \( 59 \times 551 \): \( 59 \times 550 = 32450 \), \( 59 \times 1= 59 \), сумма: \( 32450 + 59 = 32409 \). --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \frac{4807}{32409} } \] Это — вероятность, что первая и третья ложки будут золотистыми. --- Если нужно, я могу помочь с возможным приближением или более удобным представлением.