Решение

Давайте подробно решим задачу. **Дана задача:** Вписана окружность в треугольник \( LMN \). Точки касания окружности с сторонами делят эти стороны на дуги, градусные меры которых известны: \( \widehat{AB} = 99^\circ \) и \( \widehat{BC} = 109^\circ \). Необходимо найти угол \( \angle CA \). --- ### Шаг 1. Разобьём задачу на понятные части - Треугольник \( LMN \), в который вписана окружность. - Точки касания окружности делят стороны на дуги. - Знания о дугах: \( \widehat{AB} \) и \( \widehat{BC} \), а также нужно найти угол \( \angle CA \). --- ### Шаг 2. Определение дуг и их соотношение Поскольку окружность вписана в треугольник, точки касания делят стороны на дуги, и эти дуги связаны с углами тригонометрией. Обозначим: - Дуги, на которые делит стороны касательная точка \( A, B, C \). - Поскольку нам даны дуги \( \widehat{AB} = 99^\circ \) и \( \widehat{BC} = 109^\circ \), то углы треугольника связаны с дугами. --- ### Шаг 3. Используем свойство дуг и углов в окружности - Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. - Угол, вписанный в окружность, равен половине дуги, которую он соотносит. Обозначим: - дуги, противоположные вершинам \( A, B, C \) — \( \widehat{BC} \), \( \widehat{AC} \), \( \widehat{AB} \). Поскольку: - \( \angle A \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( BC \), - \( \angle B \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AC \), - \( \angle C \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AB \). --- ### Шаг 4. Находим неизвестные дуги Дано: - \( \widehat{AB} = 99^\circ \), - \( \widehat{BC} = 109^\circ \). Обозначим: - \( \widehat{AC} = x \), — искомая дуга. Общий круг: сумма дуг вокруг окружности равна \( 360^\circ \). Дуги, связанные с углами: - \(\widehat{AB} + \widehat{BC} + \widehat{CA} = 360^\circ\), кроме того, дуга \( \widehat{CA} \) обозначена как \( x \): - \( 99^\circ + 109^\circ + x = 360^\circ \), - \( 208^\circ + x = 360^\circ \), - \( x = 360^\circ - 208^\circ = 152^\circ \). Итак, дуга противоположная вершине \( A \) — это \( \widehat{BC} = 109^\circ \), дуга, противоположная \( B \), — это \( \widehat{AC} = 152^\circ \), дуга, противоположная \( C \), — это \( \widehat{AB} = 99^\circ \). --- ### Шаг 5. Находим углы треугольника Поскольку вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: - \( \angle A = \frac{1}{2} \text{ дуги } BC = \frac{1}{2} \times 109^\circ = 54,5^\circ \), - \( \angle B = \frac{1}{2} \text{ дуги } AC = \frac{1}{2} \times 152^\circ = 76^\circ \), - \( \angle C = \frac{1}{2} \text{ дуги } AB = \frac{1}{2} \times 99^\circ = 49,5^\circ \). --- ### **Ответ:** \(\boxed{\angle C \approx 49,5^\circ}\). --- Если вам нужно более точное ответ или разъяснение — пишите!