Решение

Давайте подробно решим задачу.

Дана задача:
Вписана окружность в треугольник \( LMN \). Точки касания окружности с сторонами делят эти стороны на дуги, градусные меры которых известны: \( \widehat{AB} = 99^\circ \) и \( \widehat{BC} = 109^\circ \). Необходимо найти угол \( \angle CA \).

Шаг 1. Разобьём задачу на понятные части

• Треугольник \( LMN \), в который вписана окружность.
• Точки касания окружности делят стороны на дуги.
• Знания о дугах: \( \widehat{AB} \) и \( \widehat{BC} \), а также нужно найти угол \( \angle CA \).

Шаг 2. Определение дуг и их соотношение

Поскольку окружность вписана в треугольник, точки касания делят стороны на дуги, и эти дуги связаны с углами тригонометрией.

Обозначим:

• Дуги, на которые делит стороны касательная точка \( A, B, C \).
• Поскольку нам даны дуги \( \widehat{AB} = 99^\circ \) и \( \widehat{BC} = 109^\circ \), то углы треугольника связаны с дугами.

Шаг 3. Используем свойство дуг и углов в окружности

• Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
• Угол, вписанный в окружность, равен половине дуги, которую он соотносит.

Обозначим:

• дуги, противоположные вершинам \( A, B, C \) — \( \widehat{BC} \), \( \widehat{AC} \), \( \widehat{AB} \).

Поскольку:

• \( \angle A \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( BC \),
• \( \angle B \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AC \),
• \( \angle C \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AB \).

Шаг 4. Находим неизвестные дуги

Дано:

• \( \widehat{AB} = 99^\circ \),
• \( \widehat{BC} = 109^\circ \).

Обозначим:

• \( \widehat{AC} = x \), — искомая дуга.

Общий круг: сумма дуг вокруг окружности равна \( 360^\circ \).

Дуги, связанные с углами:

• \(\widehat{AB} + \widehat{BC} + \widehat{CA} = 360^\circ\),

кроме того, дуга \( \widehat{CA} \) обозначена как \( x \):

• \( 99^\circ + 109^\circ + x = 360^\circ \),
• \( 208^\circ + x = 360^\circ \),
• \( x = 360^\circ - 208^\circ = 152^\circ \).

Итак, дуга противоположная вершине \( A \) — это \( \widehat{BC} = 109^\circ \), дуга, противоположная \( B \), — это \( \widehat{AC} = 152^\circ \), дуга, противоположная \( C \), — это \( \widehat{AB} = 99^\circ \).

Шаг 5. Находим углы треугольника

Поскольку вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

• \( \angle A = \frac{1}{2} \text{ дуги } BC = \frac{1}{2} \times 109^\circ = 54,5^\circ \),
• \( \angle B = \frac{1}{2} \text{ дуги } AC = \frac{1}{2} \times 152^\circ = 76^\circ \),
• \( \angle C = \frac{1}{2} \text{ дуги } AB = \frac{1}{2} \times 99^\circ = 49,5^\circ \).

Ответ:

\(\boxed{\angle C \approx 49,5^\circ}\).

Если вам нужно более точное ответ или разъяснение — пишите!